大阪大学 2024年度理系数学第1問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して，関数 $f_{n} (x)$ を

f_{n} (x) = 1 - \frac{1}{2} e^{n x} + cos \frac{x}{3} (x ≧ 0)

で定める．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1) 方程式 $f_{n} (x) = 0$ は，ただ1つの実数解をもつことを示せ．

(2) (1)における実数解を $a_{n}$ とおくとき，極限値 $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

(3) 極限値 $n \to \infty lim n a_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

まず $f_{n} (0) > 0$ と， $x = lo g 4/ n$ で負になることから解の存在を示す。解があるなら方程式から $e^{n x} ≦ 4$ が従い，解は $0 ≦ x ≦ lo g 4/ n$ に閉じ込められる。この候補区間では $sin (x /3) ≧ 0$ なので $f_{n}^{'} (x) < 0$ となり，一意性が出る。極限は $0 < a_{n} ≦ lo g 4/ n$ と， $e^{n a_{n}} = 2 (1 + cos (a_{n} /3))$ を組み合わせて求める。

解法2（全区間の単調性を使う別解）

$x ≧ 0$ で $e^{n x} ≧ 1$ かつ $sin (x /3) ≧ - 1$ なので、導関数は常に $- 1/6$ 以下である。したがって全区間で狭義単調減少する。 $f_{n} (0) > 0$ と $f_{n} (3 π) < 0$ から存在を示し、以後は方程式そのものから得る評価で極限を求める。

解答

解法1

(1)

まず $f_{n} (0) = 1 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} > 0$ である。一方，

f_{n} (\frac{lo g 4}{n}) = 1 - \frac{1}{2} e^{l o g 4} + cos (\frac{lo g 4}{3 n}) = - 1 + cos (\frac{lo g 4}{3 n})

である。 $0 < lo g 4/ (3 n) < π$ だから $cos (lo g 4/ (3 n)) < 1$ であり， $f_{n} (\frac{l o g 4}{n}) < 0$ となる。よって中間値の定理により， $f_{n} (x) = 0$ は少なくとも1つの解をもつ。

次に一意性を示す。もし $f_{n} (x) = 0$ なら $\frac{1}{2} e^{n x} = 1 + cos \frac{x}{3}$ であるから $e^{n x} = 2 (1 + cos \frac{x}{3}) ≦ 4$ となる。したがって $0 ≦ x ≦ \frac{l o g 4}{n}$ である。解はこの区間にしか存在しない。

この区間では $0 ≦ x /3 ≦ lo g 4/3 < π$ なので $sin (x /3) ≧ 0$ である。よって $f_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{2} e^{n x} - \frac{1}{3} sin \frac{x}{3} < 0$ である。したがって $f_{n}$ は解が存在し得る区間で狭義単調減少であり，解はただ1つである。

(2)

(1)の解を $a_{n}$ とする。上で示した範囲から $0 < a_{n} ≦ \frac{l o g 4}{n}$ である。右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づくので，はさみうちにより $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ である。

(3)

$f_{n} (a_{n}) = 0$ より $e^{n a_{n}} = 2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3})$ である。(2)より $a_{n} \to 0$ だから $2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3}) \to 4$ となる。したがって $e^{n a_{n}} \to 4$ である。また $0 < n a_{n} ≦ lo g 4$ であり，対数関数の連続性から $n a_{n} \to lo g 4$ である。よって $lim_{n \to \infty} n a_{n} = lo g 4$ である。

解法2（全区間の単調性を使う別解）

(1)

$x ≧ 0$ では

f_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{2} e^{n x} - \frac{1}{3} sin \frac{x}{3} ≦ - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} < 0

である。よって $f_{n}$ は $[0, \infty)$ で狭義単調減少する。また

f_{n} (0) = \frac{3}{2} > 0, f_{n} (3 π) = 1 - \frac{1}{2} e^{3 nπ} - 1 = - \frac{1}{2} e^{3 nπ} < 0

であるから，中間値の定理と狭義単調性により，方程式 $f_{n} (x) = 0$ はただ1つの実数解をもつ。

(2)

その解を $a_{n}$ とすると

e^{n a_{n}} = 2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3}) ≦ 4

である。 $a_{n} > 0$ だから

0 < a_{n} ≦ \frac{lo g 4}{n}

となり，はさみうちにより $a_{n} \to 0$ である。

(3)

上の等式の対数をとると

n a_{n} = lo g {2 (1 + cos \frac{a _{n}}{3})}

である。(2)より $a_{n} \to 0$ なので，右辺は $lo g 4$ へ収束する。したがって

n \to \infty lim n a_{n} = lo g 4

である。

大阪大学 2024年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（全区間の単調性を使う別解）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（全区間の単調性を使う別解）

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2024年度
理系数学第1問