阪大 2024年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

まず $f_{n} (0) > 0$ と， $x = \log 4 / n$ で負になることから解の存在を示す。解があるなら方程式から $e^{n x} ≦ 4$ が従い，解は $0 ≦ x ≦ \log 4 / n$ に閉じ込められる。この候補区間では $\sin (x / 3) ≧ 0$ なので $f_{n}^{'} (x) < 0$ となり，一意性が出る。極限は $0 < a_{n} ≦ \log 4 / n$ と， $e^{n a_{n}} = 2 (1 + \cos (a_{n} / 3))$ を組み合わせて求める。

解答

(1)
まず $f_{n} (0) = 1 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} > 0$ である。一方， $f_{n} (\frac{\log 4}{n}) = 1 - \frac{1}{2} e^{\log 4} + \cos (\frac{\log 4}{3 n}) = - 1 + \cos (\frac{\log 4}{3 n})$ である。 $0 < \log 4 / (3 n) < π$ だから $\cos (\log 4 / (3 n)) < 1$ であり， $f_{n} (\frac{\log 4}{n}) < 0$ となる。よって中間値の定理により， $f_{n} (x) = 0$ は少なくとも1つの解をもつ。

次に一意性を示す。もし $f_{n} (x) = 0$ なら $\frac{1}{2} e^{n x} = 1 + \cos \frac{x}{3}$ であるから $e^{n x} = 2 (1 + \cos \frac{x}{3}) ≦ 4$ となる。したがって $0 ≦ x ≦ \frac{\log 4}{n}$ である。解はこの区間にしか存在しない。

この区間では $0 ≦ x / 3 ≦ \log 4 / 3 < π$ なので $\sin (x / 3) ≧ 0$ である。よって $f_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{2} e^{n x} - \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} < 0$ である。したがって $f_{n}$ は解が存在し得る区間で狭義単調減少であり，解はただ1つである。

(2)
(1)の解を $a_{n}$ とする。上で示した範囲から $0 < a_{n} ≦ \frac{\log 4}{n}$ である。右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づくので，はさみうちにより $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ である。

(3) $f_{n} (a_{n}) = 0$ より $e^{n a_{n}} = 2 (1 + \cos \frac{a_{n}}{3})$ である。(2)より $a_{n} \to 0$ だから $2 (1 + \cos \frac{a_{n}}{3}) \to 4$ となる。したがって $e^{n a_{n}} \to 4$ である。また $0 < n a_{n} ≦ \log 4$ であり，対数関数の連続性から $n a_{n} \to \log 4$ である。よって $\lim_{n \to \infty} n a_{n} = \log 4$ である。

別解

解法2（全区間の単調性を使う別解）

方針

$x ≧ 0$ で $e^{n x} ≧ 1$ かつ $\sin (x / 3) ≧ - 1$ なので、導関数は常に $- 1 / 6$ 以下である。したがって全区間で狭義単調減少する。 $f_{n} (0) > 0$ と $f_{n} (3 π) < 0$ から存在を示し、以後は方程式そのものから得る評価で極限を求める。

解答

(1)
$x ≧ 0$ では $f_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{2} e^{n x} - \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} ≦ - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} < 0$ である。よって $f_{n}$ は $[0, \infty)$ で狭義単調減少する。また $f_{n} (0) = \frac{3}{2} > 0, f_{n} (3 π) = 1 - \frac{1}{2} e^{3 n π} - 1 = - \frac{1}{2} e^{3 n π} < 0$ であるから，中間値の定理と狭義単調性により，方程式 $f_{n} (x) = 0$ はただ1つの実数解をもつ。

(2)
その解を $a_{n}$ とすると $e^{n a_{n}} = 2 (1 + \cos \frac{a_{n}}{3}) ≦ 4$ である。 $a_{n} > 0$ だから $0 < a_{n} ≦ \frac{\log 4}{n}$ となり，はさみうちにより $a_{n} \to 0$ である。

(3)
上の等式の対数をとると $n a_{n} = \log {2 (1 + \cos \frac{a_{n}}{3})}$ である。(2)より $a_{n} \to 0$ なので，右辺は $\log 4$ へ収束する。したがって $\lim_{n \to \infty} n a_{n} = \log 4$ である。

総評

指数関数と三角関数が混ざるが，核心は解の範囲を先に $0 ≦ x ≦ \log 4 / n$ へ狭めることにある。目安時間は18分。全区間で単調性を示そうとすると $\sin (x / 3)$ の符号で迷いやすいが，解があり得る範囲に限定すれば微分係数は確実に負になる。(3) では $a_{n} \to 0$ と $e^{n a_{n}} \to 4$ を分けて書き，最後に $n a_{n}$ へ戻す流れが採点上読みやすい。

公式出題意図との対応：微分法と数列の極限を題材に、三角関数・指数関数の基本事項を用いて極限を論理的に決定する問題。解答では，この観点に対応する条件設定，途中式，必要十分性または検算を明示した。

出典確認：大阪大学公式の令和6年度ページ保存版で問題PDFの識別子と科目対応を確認した。問題本文は同年度の紙面PDF第1ページと原寸照合し，公式「出題の意図」も確認した。公式資料は数値解答ではなく出題意図のみである。

独立検算： $n = 1, 2, 5, 20, 100$ で解を二分法により求め、解の範囲と $e^{n a_{n}} = 2 (1 + \cos (a_{n} / 3))$ を数値照合した。

出典: 大阪大学令和6年度一般選抜数学B（理系数学）公式問題・出題の意図（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問