大阪大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
条件より$$\vec{a}\cdot \vec{a}=\vec{b}\cdot \vec{b}=\vec{c}\cdot \vec{c}=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}=0,\vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{1}{2}$$である。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は同一平面上にない3方向を表すので，$$\overrightarrow{OP}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$$ と表せる。このとき$$\vec{a}\cdot \overrightarrow{OP}=x,\vec{b}\cdot \overrightarrow{OP}=y+\frac{z}{2}$$であるから，2つの内積条件より $$x=-1,y+\frac{z}{2}=1$$ を得る。

一方，$D,E$ は $$\overrightarrow{OD}=t\vec{b},\overrightarrow{OE}=(2t+1)\vec{c}$$ である。$A,D,E,P$ が同一平面上にあるので，ある実数 $u,v$ を用いて$$\overrightarrow{OP}=\vec{a}+u(t\vec{b}-\vec{a})+v((2t+1)\vec{c}-\vec{a})$$と書ける。係数を比較すると $$x=1-u-v,y=ut,z=v(2t+1)$$ である。$x=-1$ より $u+v=2$ であり，また $y+z\mathrm{/}2=1$ より $$ut+\frac{v(2t+1)}{2}=1$$ である。$u=2-v$ を代入すると $$(2-v)t+\frac{v(2t+1)}{2}=1$$ すなわち $$2t+\frac{v}{2}=1$$ である。よって $v=2-4t,u=4t$ となる。したがって $$y=ut=4t^2,z=v(2t+1)=(2-4t)(2t+1)=2-8t^2$$ であるから $$\overrightarrow{OP}=-\vec{a}+4t^2\vec{b}+(2-8t^2)\vec{c}$$ となる。ゆえに $$\overrightarrow{AP}=-2\vec{a}+4t^2\vec{b}+(2-8t^2)\vec{c}$$ である。

(2)
(1)で得た式を用いる。$\vec{a}$ は $\vec{b},\vec{c}$ のどちらにも垂直で，$\vec{b}\cdot \vec{c}=1\mathrm{/}2$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(-2{)}^2+(4t^2{)}^2+(2-8t^2{)}^2+2(4t^2)(2-8t^2)\cdot \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+16t^4+(2-8t^2{)}^2+4t^2(2-8t^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =48t^4-24t^2+8.}\end{array}$$ここで $s=t^2$ とおくと，$t>0$ より $s>0$ であり $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2=48s^2-24s+8=48{(s-\frac{1}{4})}^2+5$$ となる。したがって最小となるのは $s=\frac{1}{4}$ すなわち $t=\frac{1}{2}$ のときである。このとき $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2=5$$ だから，$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }$ の最小値は $\sqrt{5}$ である。以上より，求める $t$ の値は $t=\frac{1}{2}$ である。

$\vec{a}$ を $z$ 軸，$\vec{b}$ を $x$ 軸に取り，$\mathrm{\angle }BOC={60}^{\circ }$ から $\vec{c}$ を $xy$ 平面上に置く。内積条件で $P$ の $x,z$ 座標を先に決め，平面 $ADE$ の方程式から残る $y$ 座標を求める。

(1)
次のように直交座標を設定する。$$\vec{a}=(0,0,1),\vec{b}=(1,0,0),\vec{c}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)\mathrm{.}$$これは，3本の半直線が同一平面上になく，
$OA=OB=OC=1$，$$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }AOC={90}^{\circ }$$，
$\mathrm{\angle }BOC={60}^{\circ }$ という条件をすべて満たす。

点 $P=(X,Y,Z)$ とおく。内積条件から$$Z=\vec{a}\cdot \overrightarrow{OP}=-1,X=\vec{b}\cdot \overrightarrow{OP}=1$$であるから，$P=(1,Y,-1)$ と書ける。一方$$A=(0,0,1),D=(t,0,0),E=(\frac{2t+1}{2},\frac{\sqrt{3}(2t+1)}{2},0)\mathrm{.}$$$U=\sqrt{3}(2t+1)\mathrm{/}2$ とおくと，平面 $ADE$ の法線ベクトルとして$$\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AE}=(U,-\frac{1}{2},tU)$$を取れる。したがって $P$ がこの平面上にある条件は$$U\cdot 1-\frac{1}{2}Y+tU(-1-1)=0$$である。これを解くと$$Y=2U(1-2t)=\sqrt{3}(1-4t^2)$$となる。よって$$\overrightarrow{AP}=(1,\sqrt{3}(1-4t^2),-2)\mathrm{.}$$解法1の基底で表せば，これは$$\overrightarrow{AP}=-2\vec{a}+4t^2\vec{b}+(2-8t^2)\vec{c}$$に一致する。

(2)
また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =1+3(1-4t^2{)}^2+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =48t^4-24t^2+8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =48{(t^2-\frac{1}{4})}^2+5.}\end{array}$$$t>0$ より，最小となるのは $t^2=1\mathrm{/}4$，すなわち $t=1\mathrm{/}2$ のときである。したがって$$t=\frac{1}{2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}_{\min }=\sqrt{5}\mathrm{.}$$