上智大学 2012年度 一般選抜理工学部数学 第4問

(1)
接点の $x$ 座標を $x_0$ とすると，$\log x$ の導関数は $1\mathrm{/}x$ だから，接線の傾きより
$a=\frac{1}{x_0}$
である。よって
$x_0=\frac{1}{a}$
である。接点では
$b=\log x_0-a{x}_0$
だから$$b=\log \frac{1}{a}-1=-\log a-1$$である。

次に，$a\in (e^{-1},1)$ なので $1\mathrm{/}a\in (1,e)$ であり，直線 $\mathrm{\ell }$ は区間 $[1,e]$ の内部で曲線 $y=\log x$ に接する。したがって，求める面積は$$S(a)={\int }_1^e(ax+b-\log x)dx$$である。ここに $b=-\log a-1$ を代入すると$$S(a)={\int }_1^e(ax-\log a-1-\log x)dx$$となる。$${\int }_1^{e}xdx=\frac{e^2-1}{2},{\int }_1^e\log xdx=1$$より$$S(a)=\frac{e^2-1}{2}a-(e-1)(\log a+1)-1$$である。これを $a$ で微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{e^2-1}{2}-\frac{e-1}{a}$$であるから，極値は$$a=\frac{2}{e+1}$$で与えられる。これは $e^{-1}<a<1$ を満たす。
このとき$$S\left(\frac{2}{e+1}\right)=(e-1)\log \frac{e+1}{2}-1$$である。したがって，最小値は
$(e-1)\log \frac{e+1}{2}-1$
である。

(2)
$g(x)=e^{x-k}$ とおくと，$g$ は $[0,k]$ 上で単調増加し，値域は $[e^{-k},1]$ である。$$f(t)={\int }_0^k\mathrm{\mid }g(x)-t\mathrm{\mid }dx$$ の最小値は，$g(x)=t$ となる点が区間の中央にくるときに達成される。したがって
$t=e^{-k\mathrm{/}2}$
である。

このとき$$M(k)={\int }_0^{k\mathrm{/}2}(e^{-k\mathrm{/}2}-e^{x-k})dx+{\int }_{k\mathrm{/}2}^k(e^{x-k}-e^{-k\mathrm{/}2})dx$$である。計算すると$$M(k)=1+e^{-k}-2e^{-k\mathrm{/}2}=(1-e^{-k\mathrm{/}2}{)}^2$$となる。

さらに，$k\to +0$ のとき$$e^{-k\mathrm{/}2}=1-\frac{k}{2}+O(k^2)$$だから$$M(k)=(1-e^{-k\mathrm{/}2}{)}^2=\frac{k^2}{4}+O(k^3)$$である。よって$$\underset{k\to +0}{\lim }\frac{M(k)}{k^2}=\frac{1}{4}$$である。