上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM）第4問

(1) 自然数 $n$ に対し $z_{n} = \cos \frac{π}{3^{n}} + i \sin \frac{π}{3^{n}}$ とする。 $\frac{z_{2} z_{4} \dots z_{2 n}}{z_{1} z_{3} \dots z_{2 n - 1}} = \cos α + i \sin α (- π < α ≦ π)$ であるとき， $α$ を求めよ。

(2) 集合 ${4^{k} ∣ k = 0, 1, \dots, 6}$ に属する異なる2個以上の
整数の和として表される整数全体の集合を $S$ とする。
$S$ の要素のうち8の倍数であるものの個数と，
$S$ の全要素の和を8で割った余りを求めよ。

(3) 一辺1の立方体 $O A P B - C Q S R$ において，
辺 $A Q$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $T$ とする
$(0 < t < 1)$ 。 $T$ を通り直線 $O S$ と垂直な平面で立方体を
切った断面を $D$ ， $D$ と直線 $O S$ の交点を $H$ とする。
$T H^{2}$ を求めよ。また $0 < t ≦ 1 / 2$ のとき， $D$ の周上の点
と $H$ の距離の最小値を求めよ。

難易度7/ 10計算量7/ 10目安35分

複素数平面、場合の数、整数、ベクトル　複素数の極形式、数え上げ、剰余分類、内積の利用

方針

(1) 偏角の等比数列和を偶数番と奇数番で引く。(2) $4^{0}, 4^{1}$ を含むかで4分類し，残り5項の部分集合を数える。(3) 互いに直交する3辺を基底にして $H$ を内積から求め，対称性を使って断面境界までの最短距離を出す。

解答

(1) 分子と分母の偏角を等比数列として足すと $\arg (z_{2} z_{4} \dots z_{2 n}) = \frac{1}{8} (1 - 3^{- 2 n}) π,$ $\arg (z_{1} z_{3} \dots z_{2 n - 1}) = \frac{3}{8} (1 - 3^{- 2 n}) π .$ したがって $α = - \frac{1}{4} (1 - 3^{- 2 n}) π .$ (2) $4^{0}, 4^{1}$ を含むか否かで分ける。
両方を含む場合の8の倍数はなく，どちらも含まない場合は
$2^{5} - 5 - 1 = 26$ 個がすべて8の倍数である。他の2分類でも
8の倍数はないので，個数は26。
各分類の要素の和を8で見れば，余りはそれぞれ
$5, 7, 4, 0$ だから，全体では $5 + 7 + 4 \equiv 3 (m o d 8)$ 。

(3) $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ を互いに直交する単位ベクトルとする。 $\vec{O H} = k \vec{O S}$ とおき，
$\vec{T H} ⊥ \vec{O S}$ を使うと
$k = (t + 1) / 3$ である。したがって $T H^{2} = \frac{2}{3} (t^{2} - t + 1) .$ $0 < t ≦ 1 / 2$ では対称な候補辺までの距離を比較すると，
最短点は辺 $Q U$ 側にあり，最小距離は $\frac{\sqrt{6}}{6} (t + 1) .$

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出典: 上智大学 2016年度 TEAP2数学（PM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM） 第4問

方針

解答

上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM）第4問