上智大学 2018年度 一般選抜理工学部数学 第4問

(1) 点$P(x,y)$を$C$上の点とする。すると
$(x^2+y^2{)}^2=2xy$
である。点$A(a,a)$，$B(-a,-a)$について$$P{A}^2=(x-a{)}^2+(y-a{)}^2=x^2+y^2+2a^2-2a(x+y)$$$$P{B}^2=(x+a{)}^2+(y+a{)}^2=x^2+y^2+2a^2+2a(x+y)$$だから$$(PA\cdot PB{)}^2=(x^2+y^2+2a^2{)}^2-4a^2(x+y{)}^2$$である。これが$P$に依らず一定となるためには
$a=\frac{1}{2}$
でなければならない。実際，このとき
$PA\cdot PB=\frac{1}{2}$
である。

(2) 極座標で$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$とおくと$$(x^2+y^2{)}^2=r^4,2xy=2r^2\cos \theta \sin \theta =r^2\sin 2\theta$$より
$r^4=r^2\sin 2\theta$
となる。$r\ge 0$で原点以外では
$r^2=\sin 2\theta$
であるから
$s=2,t=2$
である。

(3) $r^2=\sin 2\theta$は$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$および$\pi \le \theta \le \frac{3\pi }{2}$で現れる。したがって，原点を通る2つのループをもつ図形であり，該当する概形はFである。

(4) $x=r\cos \theta$の最大値を考える。$r^2=\sin 2\theta$より$$x^2=\sin 2\theta {\cos }^2\theta =2\sin \theta {\cos }^3\theta$$である。これを微分すると$$\frac{d}{d\theta }(x^2)=2{\cos }^2\theta ({\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta )$$となるので，極値条件は$$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$$である。よって$${\theta }_0=\frac{\pi }{6}$$である。

(5) 求める部分の面積は，極座標の面積公式より$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}{r}^{2}d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}\sin 2\theta d\theta$$である。したがって$$\frac{1}{2}{[-\frac{1}{2}\cos 2\theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}6}=\frac{1}{8}$$となる。

(6) 曲線$C$で囲まれた部分の面積は$$2\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin 2\theta d\theta ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin 2\theta d\theta$$であり，$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin 2\theta d\theta ={[-\frac{1}{2}\cos 2\theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}2}=1$$だから，求める面積は
$1$
である。