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上智大学 2024年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第1問

(1) 複素数 z=(−3+2cos⁡θ)+(4+2sin⁡θ)i の絶対値の最小値を求め，そのときの sin⁡θ を求めよ。

(2) 次の等式を満たす整数 A,B,C,p,q を求めよ。∫π/6π/22sin⁡xx3 dx=−∫π/6π/2sin⁡xx dx+Aπp+BC πq(3) 次の図で表される回路は，AP 間，AQ 間，PB 間，QB 間がつながっておらず，それぞれの区間を1本の導線でつなぐことができる。P または Q を経由して AB 間がつながり電流が流れると電球 L が点灯する。導線には，タイプ α が2本，タイプ β が2本ある。それぞれの導線に電流が流れる確率は，タイプ α が 23，タイプ β が 12 である。

(i) AP 間，PB 間を2本のタイプ α の導線でそれぞれつなぐとき，L が点灯する確率を求めよ。

(ii) AP 間，AQ 間，PB 間，QB 間を4本の導線でそれぞれつなぐすべてのパターンを考える。L が点灯する確率が最も大きくなるときの確率を求めよ。

(iii) PQ 間を確実に電流が流れる別の導線でつなぎ，AP 間，AQ 間，PB 間，QB 間を4本の導線でそれぞれつなぐすべてのパターンを考える。L が点灯する確率が最も大きくなるときの確率を求めよ。

難易度6/ 10計算量6/ 10目安28分

複素数平面、積分、確率　場合分け、余事象、計算整理

方針

(1) 絶対値の2乗を展開して，cos⁡θ,sin⁡θ の一次式に直し，三角関数の合成で最小値を求める。最小条件から sin⁡θ を復元する。

(2) 被積分関数を微分公式で分解し，−∫sin⁡xx dx と端点項に分ける。端点での値を丁寧に計算する。

(3) 回路ごとに通電条件を事象として整理し，余事象で点灯しない確率を求める。最適配置では，独立に効く2本の経路へ有利な導線を配分する。

解答

(1) ∣z∣2=(−3+2cos⁡θ)2+(4+2sin⁡θ)2=9−12cos⁡θ+4cos⁡2θ+16+16sin⁡θ+4sin⁡2θ=33−12cos⁡θ+16sin⁡θ.
したがって∣z∣2=33−20(35cos⁡θ−45sin⁡θ).
ここで35cos⁡θ−45sin⁡θ≤1より，∣z∣2 は 35cos⁡θ−45sin⁡θ=1 のとき最小となる。

よって∣z∣min⁡2=33−20=13,∣z∣min⁡=13.
等号成立条件からcos⁡θ=35,sin⁡θ=−45.
したがって，最小値は 13，そのとき
sin⁡θ=−45
である。

(2) ddx(cos⁡xx)=−sin⁡xx−cos⁡xx2,ddx(sin⁡xx2)=cos⁡xx2−2sin⁡xx3.したがって∫π/6π/22sin⁡xx3 dx=−∫π/6π/2sin⁡xx dx−[cos⁡xx]π/6π/2−[sin⁡xx2]π/6π/2.端点を代入すると∫π/6π/22sin⁡xx3 dx=−∫π/6π/2sin⁡xx dx+14π−2+33 π−1.よってA=14,B=3,C=3,p=−2,q=−1である。

(3)

(i) AP 間，PB 間をともにタイプ α とすると，それぞれ通電する確率は 23 で独立だから，A→P→B が通る確率は23⋅23=49.
したがって，点灯する確率は
49.

(ii) 点灯するには，P 経由または Q 経由の経路の少なくとも一方が通電すればよい。各経路の通電確率は，αα:49, αβ:13, ββ:14 である。2本の経路に αα と ββ を割り当てると1−(1−49)(1−14)=1−59⋅34=712となる。
他の割り当てではこれを超えないので，最大値は
712
である。

(iii) PQ 間が確実に導通するので，A 側の2本のうち少なくとも1本，
かつ B 側の2本のうち少なくとも1本が通電すればよい。各側に
α,β を1本ずつ割り当てると，各側で少なくとも1本通る確率は1−(1−23)(1−12)=56.
したがって点灯する確率は56⋅56=2536.
一方，一方の側を α,α，他方を β,β とすると89⋅34=23 で，2536 より小さい。
よって最大値は
2536
である。

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出典: 上智大学 2024年度 理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。