上智大学 2026年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第1問

(1)
$z=r{e}^{i\theta }$より$$\frac{1}{z}=r^{-1}{e}^{-i\theta }$$だから$$w=(r+r^{-1})\cos \theta +i(r-r^{-1})\sin \theta$$である。よって$$u=(r+r^{-1})\cos \theta ,v=(r-r^{-1})\sin \theta$$.

(2) (i)
$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2+\sqrt{3}$より$r=2+\sqrt{3}$である。このとき$$r+r^{-1}=4,r-r^{-1}=2\sqrt{3}$$となるので$$u=4\cos \theta ,v=2\sqrt{3}\sin \theta$$.
したがって$${\left(\frac{u}{4}\right)}^2+{\left(\frac{v}{2\sqrt{3}}\right)}^2=1$$となる。よって曲線$C_1$は原点中心の楕円である。

(2) (ii)
$z=t(1+i)$，$t>0$より偏角は常に$\pi \mathrm{/}4$である。したがって$$u=\frac{r+r^{-1}}{\sqrt{2}},v=\frac{r-r^{-1}}{\sqrt{2}}$$であり，これより
$u^2-v^2=2$
を得る。しかも $u>0$ なので，曲線$C_2$は双曲線$u^2-v^2=2$の$u>0$側の枝である。

(2) (iii)
交点では$${\left(\frac{u}{4}\right)}^2+{\left(\frac{v}{2\sqrt{3}}\right)}^2=1,u^2-v^2=2$$を満たす。後者を前者に代入すると$$\frac{u^2}{16}+\frac{u^2-2}{12}=1$$より
$7u^2=56$
となるから
$u^2=8,v^2=6$.
第1象限の交点は
$P=(2\sqrt{2},\sqrt{6})$
である。

楕円$C_1$について$$\frac{u}{16}du+\frac{v}{12}dv=0$$より$$\frac{dv}{du}=-\frac{3u}{4v}$$だから，$P$での傾きは
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
である。
双曲線$C_2$について$$2u-2v\frac{dv}{du}=0$$より$$\frac{dv}{du}=\frac{u}{v}$$だから，$P$での傾きは
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
である。

(3)
楕円は$$\frac{u^2}{16}+\frac{v^2}{12}=1\Rightarrow u^2=16-\frac{4v^2}{3}$$であり，双曲線の右枝は$$u^2-v^2=2\Rightarrow u^2=v^2+2$$である。囲まれる図形を虚軸のまわりに回転すると，半径は$u$なので体積は$$\pi {\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\{(16-\frac{4v^2}{3})-(v^2+2)\}dv$$となる。計算して$$\pi {\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}(14-\frac{7v^2}{3})dv=\frac{56}{3}\sqrt{6}\pi$$を得る。