東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

平面 $\alpha ,\beta$ の法線ベクトルはそれぞれ$${\mathit{n}}_{\alpha }=(4,12,-3),{\mathit{n}}_{\beta }=(8,-9,5)$$である。交線方向を $(l,m,n)$ とすると$$4l+12m-3n=0,8l-9m+5n=0.$$これを解くと $(l,m,n)$ は $(3,-4,-12)$ の実数倍である。
長さが13で $x$ 成分が正だから$$\mathit{u}=({\displaystyle \frac{3}{13}},-{\displaystyle \frac{4}{13}},-{\displaystyle \frac{12}{13}})\mathrm{.}$$次に $\mathit{v}=(l,m,n)$ とおく。$\alpha$ に平行で
$\mathit{u}$ に垂直という条件は$$4l+12m-3n=0,3l-4m-12n=0.$$この解は $(12,-3,4)$ の実数倍である。長さが13で
$x$ 成分が正だから$$\mathit{v}=({\displaystyle \frac{12}{13}},-{\displaystyle \frac{3}{13}},{\displaystyle \frac{4}{13}})\mathrm{.}$$

まず2法線に垂直な整数ベクトルを消去法で得る。
$\alpha$ 内では、法線に垂直な簡単な2本を基底として
$\mathit{u}$ との直交条件を1本の式に落とす。

交線方向 $(l,m,n)$ について2法線との垂直条件を消去すると$$4l+3m=0,n=-4l\mathrm{.}$$$l=3$ とすれば $(3,-4,-12)$ を得るので、正規化して$$\mathit{u}=({\displaystyle \frac{3}{13}},-{\displaystyle \frac{4}{13}},-{\displaystyle \frac{12}{13}})\mathrm{.}$$平面 $\alpha$ に平行な簡単な2本のベクトルとして$$\mathit{p}=(3,-1,0),\mathit{q}=(3,0,4)$$を取れる。実際、どちらも$$4x+12y-3z=0$$を満たす。$$\mathit{v}=s\mathit{p}+t\mathit{q}$$ とおき、
$(3,-4,-12)$ との内積を0とすると$$13s-39t=0,$$すなわち $s=3t$ である。よって$$3\mathit{p}+\mathit{q}=(12,-3,4)\mathrm{.}$$これを正規化し、$x$ 成分を正に選べば$$\mathit{v}=({\displaystyle \frac{12}{13}},-{\displaystyle \frac{3}{13}},{\displaystyle \frac{4}{13}})\mathrm{.}$$