東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

$0\leqq x\leqq 1$ では上端 $y=2x$、下端 $y=0$ である。
$1\leqq x\leqq 3$ では上端 $y=2$、下端
$y=-x^2+4x-3$ である。したがって縦幅 $w(x)$ は$$w(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\leqq x\leqq 1),\\ x^2-4x+5& (1\leqq x\leqq 3)\mathrm{.}\end{array}$$$0\leqq a\leqq 1$ では$$S(a)={\int }_a^{1}2xdx+{\int }_1^{a+1}(x^2-4x+5)dx={\displaystyle \frac{a^3}{3}}-2a^2+2a+1.$$$1\leqq a\leqq 2$ では$$S(a)={\int }_a^{a+1}(x^2-4x+5)dx=a^2-3a+{\displaystyle \frac{10}{3}}\mathrm{.}$$(2)

前半では$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=a^2-4a+2$$であり、区間内の停留点は $a=2-\sqrt{2}$ である。後半では$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=2a-3$$であり、停留点は $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。候補値は$$S(0)=1,S(2-\sqrt{2})={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}-1}{3}},S(1)=S(2)={\displaystyle \frac{4}{3}},S\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{13}{12}}\mathrm{.}$$よって最大値は$${\displaystyle \frac{4\sqrt{2}-1}{3}}(a=2-\sqrt{2}),$$最小値は$$1(a=0)$$である。

$S(a)$ を幅関数 $w$ の長さ1の移動積分と見る。
帯を右へ微小移動したときの増減は、右端で加わる幅と左端で失う幅の差である。

(1)

縦幅は解法1と同じく$$w(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\leqq x\leqq 1),\\ x^2-4x+5& (1\leqq x\leqq 3)\mathrm{.}\end{array}$$であり、$$S(a)={\int }_a^{a+1}w(x)dx\mathrm{.}$$積分区間の両端を微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=w(a+1)-w(a)\mathrm{.}$$$0\leqq a\leqq 1$ では$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\{(a+1{)}^2-4(a+1)+5\}-2a=a^2-4a+2.$$また $S(0)=1$ だから、これを0から $a$ まで積分して$$S(a)=1+{\int }_0^a(s^2-4s+2)ds={\displaystyle \frac{a^3}{3}}-2a^2+2a+1.$$$1\leqq a\leqq 2$ では$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=w(a+1)-w(a)=2a-3.$$$S(1)={\displaystyle \frac{4}{3}}$ より$$S(a)={\displaystyle \frac{4}{3}}+{\int }_1^a(2s-3)ds=a^2-3a+{\displaystyle \frac{10}{3}}\mathrm{.}$$(2)

導関数の符号は$$+⟶0⟶-\text{at }a=2-\sqrt{2},$$$$-⟶0⟶+\text{at }a={\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。端点も含めて比較すると、最大値・最小値は解法1と同じになる。