東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
3辺の長さを $$AB=x,BC=y,CA=z$$ とおく。まず $$a=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$ である。$\overrightarrow{CA}$ は頂点 $A$ から見た $\overrightarrow{AC}$ と向きが反対であるが，内積が0であるかどうかには影響しない。したがって $a=0$ は，$AB$ と $AC$ が垂直であること，すなわち $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ と同値である。同様に$$b=0⟺\mathrm{\angle }B={90}^{\circ },c=0⟺\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$$である。

よって $abc=0$ なら，$a,b,c$ の少なくとも1つが0であるから，$\mathrm{△}ABC$ は直角三角形である。逆に直角三角形なら，直角の頂点に対応する内積が0になる。したがって答えは $\text{直角三角形}$ である。

(2)
辺の長さの2乗を $$X=A{B}^2,Y=B{C}^2,Z=C{A}^2$$ とおく。三角形のベクトルは $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$$ を満たすので，たとえば $$\overrightarrow{BC}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA})$$ である。両辺の長さの2乗をとると $$Y=X+Z+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}$$ となる。ここで $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=a$$ だから $$a={\displaystyle \frac{Y-X-Z}{2}}$$ である。同じようにして $$b={\displaystyle \frac{Z-X-Y}{2}},c={\displaystyle \frac{X-Y-Z}{2}}$$ を得る。

この表示から$$a=b⟺Y=Z,b=c⟺Z=X,c=a⟺X=Y$$である。したがって $(a-b)(b-c)(c-a)=0$ なら，少なくとも2つの辺の長さが等しい。よって $\mathrm{△}ABC$ は二等辺三角形である。逆に二等辺三角形なら対応する2つの辺の長さの2乗が等しく，上のいずれかの等式が成り立つ。したがって答えは $\text{二等辺三角形}$ である。正三角形も二等辺三角形に含まれる。

(3) $$\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{BC}$$ とおく。このとき2辺 $AB,BC$ がつくる平行四辺形の面積の2乗は $\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2-(\vec{u}\cdot \vec{v}{)}^2$ であるから，三角形の面積を $S$ とすると $$S^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\{XY-b^2\}$$ である。ここで $X=A{B}^2$，$Y=B{C}^2$ であり，$b=\vec{u}\cdot \vec{v}$ である。

一方，(2) で得た $$a={\displaystyle \frac{Y-X-Z}{2}},b={\displaystyle \frac{Z-X-Y}{2}},c={\displaystyle \frac{X-Y-Z}{2}}$$ を用いる。計算を見やすくするため $T=X+Y+Z$ とおくと $$a=Y-{\displaystyle \frac{T}{2}},b=Z-{\displaystyle \frac{T}{2}},c=X-{\displaystyle \frac{T}{2}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle ab+bc+ca}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{T^2}{4}}-{\displaystyle \frac{X^2+Y^2+Z^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2XY+2YZ+2ZX-X^2-Y^2-Z^2}{4}}}\end{array}$$となる。

また $$b={\displaystyle \frac{Z-X-Y}{2}}$$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle XY-b^2}& {\displaystyle =XY-{\displaystyle \frac{(Z-X-Y{)}^2}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2XY+2YZ+2ZX-X^2-Y^2-Z^2}{4}}}\end{array}$$である。よって $XY-b^2=ab+bc+ca$ となるから $$S^2={\displaystyle \frac{1}{4}}(ab+bc+ca)$$ である。面積は正なので $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{ab+bc+ca}$$ が成り立つ。

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ と置き、3つの内積を $\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2,\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2,\vec{u}\cdot \vec{v}$ だけで表す。差を取れば二等辺条件が直接現れ、$ab+bc+ca$ は面積公式の根号内と一致する。

$$\vec{u}=\overrightarrow{AB}$$、$$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$$ とし、$$U=\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2,V=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2,w=\vec{u}\cdot \vec{v}$$とおく。$$\overrightarrow{CA}=-\vec{v}$$、$$\overrightarrow{BC}=\vec{v}-\vec{u}$$ だから$$\begin{array}{cccc}& a=-w,b=w-U,c=w-V\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1) $a=0$ は $\vec{u}\perp \vec{v}$、すなわち $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ を意味する。同様に、$b=0$ は $\mathrm{\angle }B={90}^{\circ }$、$c=0$ は $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$ を意味する。よって $abc=0$ の必要十分条件は、$\mathrm{△}ABC$ が直角三角形であることである。

(2) (1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a-b}& {\displaystyle =U-2w=\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2-V,}\\ {\displaystyle b-c}& {\displaystyle =V-U,}\\ {\displaystyle c-a}& {\displaystyle =2w-V=U-\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、いずれかの差が0であることは、$AB,BC,CA$ のうち2辺が等しいことと同値である。よって答えは正三角形を含む二等辺三角形である。

(3) (1)を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle ab+bc+ca}& {\displaystyle =(-w)(w-U)+(w-U)(w-V)+(w-V)(-w)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =UV-w^2\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$\vec{u},\vec{v}$ のなす角を $\theta$ とし、面積を $S$ とすると$$4S^2=UV{\sin }^2\theta =UV-(\vec{u}\cdot \vec{v}{)}^2=UV-w^2\mathrm{.}$$ゆえに$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{ab+bc+ca}$$である。