東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$について $A^2=A$ であるから、成分を比較すると $$a^2+bc=a,ab+bd=b,$$ $$ac+cd=c,bc+d^2=d$$ である。特に $$bc=a-a^2=a(1-a),bc=d-d^2=d(1-d)$$ が成り立つ。

任意の実数 $u$ について $$u(1-u)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり、等号は $u={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときだけである。ところが仮定より $bc\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。一方で $$bc=a(1-a)\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}},bc=d(1-d)\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ だから、すべて等号でなければならない。よって $$bc={\displaystyle \frac{1}{4}},a=d={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$ (2)

(1) より$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& b\\ c& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right),bc={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。

条件 $0\leqq a+b+c+d<2$ に $a=d={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を代入すると $0\leqq 1+b+c<2$ すなわち $-1\leqq b+c<1$ である。

また $bc={\displaystyle \frac{1}{4}}>0$ だから、$b,c$ は同符号である。もし $b,c$ がともに正なら、相加相乗の関係から $$b+c\geqq 2\sqrt{bc}=1$$ となり、$b+c<1$ に反する。したがって $b,c$ はともに負である。このとき $$-(b+c)\geqq 2\sqrt{bc}=1$$ より $b+c\leqq -1.$ 先ほどの条件 $-1\leqq b+c$ と合わせて $b+c=-1$ である。

したがって $b,c$ は $t^2-(b+c)t+bc=0$ すなわち $t^2+t+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$ の二つの解である。これは $${(t+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=0$$ だから $b=c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$ よって$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。

対角成分から得られる2本の平方完成で a と d を一度に決める。(2)では積 bc と和 b+c の範囲を平方の非負性と符号に結び付け、相加相乗の公式を直接使わずに b と c を決める。

(1)
$A^2=A$ の対角成分から$$a^2+bc=a,d^2+bc=d$$を得る。したがって$${(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+bc={\displaystyle \frac{1}{4}},{(d-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+bc={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$仮定 $bc\geqq 1\mathrm{/}4$ と平方の非負性を合わせると、両式で平方は0、かつ $bc=1\mathrm{/}4$ でなければならない。よって$$a=d={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
条件は$$-1\leqq b+c<1,bc={\displaystyle \frac{1}{4}}$$となる。積が正なので $b,c$ は同符号である。

もし正なら、$(b-c{)}^2\geqq 0$ より$$(b+c{)}^2\geqq 4bc=1$$であり $b+c\geqq 1$ となって上限に反する。したがって両方とも負である。同じ不等式から $b+c\leqq -1$ だが、下限と合わせて $b+c=-1$ である。さらに$$(b-c{)}^2=(b+c{)}^2-4bc=1-1=0$$より $b=c=-1\mathrm{/}2$ を得る。ゆえに$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$