東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

点 $P$ は$$P=(a_n,{\displaystyle \frac{1}{a_n}}-1)$$であり、接線の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{a_n^2}}$ である。したがって接線は$$y-({\displaystyle \frac{1}{a_n}}-1)=-{\displaystyle \frac{1}{a_n^2}}(x-a_n)\mathrm{.}$$$y=0$ として $x$ 座標を求めると$$a_{n+1}=2a_n-a_n^2\mathrm{.}$$よって$$a_{n+1}-1=-(a_n-1{)}^2\mathrm{.}$$(2)

$b_n=a_n-1$ とおけば$$b_{n+1}=-b_n^2\mathrm{.}$$したがって $n\geqq 2$ で$$b_n=-(a_1-1{)}^{2^{n-1}},a_n=1-(a_1-1{)}^{2^{n-1}}\mathrm{.}$$$0<a_1<2$ では $\mathrm{\mid }{a}_1-1\mathrm{\mid }<1$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1.$$$a_1<0$ または $a_1>2$ では $\mathrm{\mid }{a}_1-1\mathrm{\mid }>1$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

接線の $x$ 切片を求めた後、$1-a_n$ を1からの距離として扱う。
2項目以降は正で、毎回その2乗になることを使って絶対値から一般項を得る。

(1)

接線の式から$$a_{n+1}=a_n(2-a_n)$$である。これを1との差に直すと$$1-a_{n+1}=(a_n-1{)}^2\mathrm{.}$$(2)

特に $n\geqq 2$ では $1-a_n\geqq 0$ である。また$$1-a_2=(a_1-1{)}^2,$$$$1-a_3=(1-a_2{)}^2=(a_1-1{)}^4$$となる。帰納的に$$1-a_n=\mathrm{\mid }{a}_1-1{\mathrm{\mid }}^{2^{n-1}}(n\geqq 2)\mathrm{.}$$指数は偶数なので、これは$$a_n=1-(a_1-1{)}^{2^{n-1}}$$と同じである。

$\mathrm{\mid }{a}_1-1\mathrm{\mid }<1$、すなわち $0<a_1<2$ なら1からの距離は0へ収束する。
$\mathrm{\mid }{a}_1-1\mathrm{\mid }>1$、すなわち $a_1<0$ または $a_1>2$ なら
1からの距離は正の無限大へ発散する。したがって極限は解法1と同じである。