東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

取り出した番号の最大値を $M$ とする。

$M=1$ となるのは $n$ 回すべて1が出る場合だけなので$$P(M=1)=4^{-n}\mathrm{.}$$$M=2$ では、第 $j$ 回に2が出て止まり、それ以前はすべて1である。したがって$$P(M=2)=\sum _{j=1}^n{4}^{-j}={\displaystyle \frac{1-4^{-n}}{3}}\mathrm{.}$$$M=4$ では、第 $j$ 回に4が出て止まり、それ以前は1または3であるから$$P(M=4)=\sum _{j=1}^n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{j-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-2^{-n})\mathrm{.}$$残りが $M=3$ なので$$P(M=3)=1-P(M=1)-P(M=2)-P(M=4)={\displaystyle \frac{1}{6}}+2^{-n-1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{4}^{-n}\mathrm{.}$$よって確率分布は$$\begin{array}{ccccc}M& 1& 2& 3& 4\\ P(M)& 4^{-n}& {\displaystyle \frac{1-4^{-n}}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}+2^{-n-1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{4}^{-n}& {\displaystyle \frac{1}{2}}(1-2^{-n})\end{array}$$

取り出した最大値Mの累積分布を先に求める。Mが1以下、2以下、3以下となる事象は、それぞれ許される継続列と停止球を整理すると簡単になる。最後に隣り合う累積確率の差を取る。

取り出した最大値を $M$ とする。

$M\leqq 1$ となるのは $n$ 回すべて1のときだけだから$$F(1)=4^{-n}\mathrm{.}$$$M\leqq 2$ は、すべて1で終わるか、1が続いた後に2が出て止まる場合である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(2)}& {\displaystyle =4^{-n}+\sum _{j=1}^n{4}^{-j}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{4}^{-n}\mathrm{.}}\end{array}$$$M\leqq 3$ は「4が一度も停止球にならない」ことと同値である。4が第 $j$ 回に初めて出る確率を除くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(3)}& {\displaystyle =1-\sum _{j=1}^n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{j-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}+2^{-n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$もちろん $F(4)=1$ である。したがって隣接差から$$\begin{array}{ccccc}M& 1& 2& 3& 4\\ P(M)& 4^{-n}& {\displaystyle \frac{1-4^{-n}}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}+2^{-n-1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{4}^{-n}& {\displaystyle \frac{1}{2}}(1-2^{-n})\end{array}$$を得る。