東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

全事象は$${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$通りである。

(1) $$\mathrm{Pr}(X=k)={\displaystyle \frac{2(n-k)}{n(n-1)}}(k=1,\dots ,n-1),$$$$\mathrm{Pr}(Y=k)={\displaystyle \frac{2(k-1)}{n(n-1)}}(k=2,\dots ,n)\mathrm{.}$$(2)$$E(X)={\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}(n\sum _{k=1}^{n-1}k-\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2)={\displaystyle \frac{\mathbf{n}+\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathrm{.}$$同様に$$E(Y)={\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}(\sum _{k=1}^n{k}^2-\sum _{k=1}^{n}k)={\displaystyle \frac{\mathbf{2}(\mathbf{n}+\mathbf{1})}{\mathbf{3}}}\mathrm{.}$$

$E(X)$ は正整数値確率変数の公式 $E(X)={\sum }_j\mathrm{Pr}(X\geqq j)$ で求める。$Y$ はカード番号を $k\mapsto n+1-k$ と反転する対称性から $n+1-Y$ が $X$ と同じ分布になる。

(1)
$X=k$ となる組は $n-k$ 個、$Y=k$ となる組は $k-1$ 個だから$$\mathrm{Pr}(X=k)={\displaystyle \frac{2(n-k)}{n(n-1)}},\mathrm{Pr}(Y=k)={\displaystyle \frac{2(k-1)}{n(n-1)}}\mathrm{.}$$(2)$$E(X)=\sum _{j=1}^{n-1}\mathrm{Pr}(X\geqq j)\mathrm{.}$$$X\geqq j$ は2枚とも $j,j+1,\dots ,n$ から選ぶことだから$$E(X)={\displaystyle \frac{1}{n(n-1)}}\sum _{j=1}^{n-1}(n-j+1)(n-j)={\displaystyle \frac{\mathbf{n}+\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathrm{.}$$カード番号を $k\mapsto n+1-k$ と入れ替えると、小さい方 $X$ は $n+1-Y$ に移る。したがって$$E(X)=n+1-E(Y)\mathrm{.}$$よって$$\mathbf{E}(\mathbf{Y})={\displaystyle \frac{\mathbf{2}(\mathbf{n}+\mathbf{1})}{\mathbf{3}}}$$である。