東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$は $$(2a-1)x+by=0,bx+(a-1)y=0$$ と同値である。

点 $P(x,y)$ は $x^2+y^2=1$ を満たすので、$(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ である。したがって上の連立一次方程式が零でない解をもつ必要があり、$(2a-1)(a-1)-b^2=0$ である。よって $$b^2=(2a-1)(a-1)=(1-2a)(1-a)\mathrm{.}$$ $a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$、$b\geqq 0$ より $$b=\sqrt{(1-2a)(1-a)}\mathrm{.}$$ 次に $bx+(a-1)y=0$ から $$y={\displaystyle \frac{b}{1-a}}x$$ である。ここで $1-a>0$ である。したがって $$y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{1-a}}}x\mathrm{.}$$ これを $x^2+y^2=1$ に代入すると $$x^2(1+{\displaystyle \frac{1-2a}{1-a}})=1.$$ すなわち $$x^2{\displaystyle \frac{2-3a}{1-a}}=1.$$ $x>0$ より $$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}}\mathrm{.}$$ したがって $$y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}}\mathrm{.}$$ よって $$P=(\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}},\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}})$$ である。

(2) $$A\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$$は $$(2a-t)X+bY=0,bX+(a-t)Y=0$$ と同値である。点 $Q$ も単位円上にあるので、$(X,Y)\mathrm{\ne }(0,0)$ である。したがって $(2a-t)(a-t)-b^2=0$ でなければならない。

(1) で得た $b^2=(1-2a)(1-a)$ を代入すると $$(2a-t)(a-t)-(1-2a)(1-a)=0.$$ 整理して $t^2-3at+3a-1=0$ である。この2次方程式は $(t-1)\{t-(3a-1)\}=0$ と因数分解できる。条件は $t\mathrm{\ne }1$ なので $t=3a-1.$ このとき第一式は $(1-a)X+bY=0$ となる。よって $$X=-{\displaystyle \frac{b}{1-a}}Y=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{1-a}}}Y\mathrm{.}$$ 単位円条件から $X^2+Y^2=1$ であり、$Y>0$ だから $$Y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}}\mathrm{.}$$ したがって $$X=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}}\mathrm{.}$$ よって $$Q=(-\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}},\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}})\mathrm{.}$$ (3)

(1) 、(2)より $$P=(\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}},\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}}),$$ $$Q=(-\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}},\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}})$$ である。どちらも単位円上にある。また内積を計算すると$$\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}}(-\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}})+\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}}=0.$$したがって $OP$ と $OQ$ は垂直で、長さはいずれも1である。よって三角形 $OPQ$ の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot 1={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

(1) で得た単位ベクトルPに対し、それを90度回転した単位ベクトルQを作る。行列Aの左右対称性を内積の成分計算で使い、AQがQと平行であることを示す。倍率は直接計算する。

(1)
$A(x,y{)}^T=(x,y{)}^T$ が非零解をもつ条件から$$(2a-1)(a-1)-b^2=0.$$したがって$$b=\sqrt{(1-2a)(1-a)}\mathrm{.}$$さらに $bx+(a-1)y=0$、$x>0$、$x^2+y^2=1$ から$$P=(x,y)=(\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}},\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}})\mathrm{.}$$(2)$$Q=(-y,x)$$とおくと、$Q$ は単位ベクトルで第2成分が正であり、$P\cdot Q=0$ である。行列の成分が左右対称なので、任意のベクトル $U,V$ に対して成分計算から$$U\cdot (AV)=(AU)\cdot V$$が成り立つ。したがって$$P\cdot (AQ)=(AP)\cdot Q=P\cdot Q=0.$$平面で $P$ に垂直な方向は $Q$ の方向だけだから、ある実数 $t$ により $AQ=tQ$ と書ける。

倍率は $t=Q\cdot (AQ)$ である。$x^2=(1-a)\mathrm{/}(2-3a)$、$y^2=(1-2a)\mathrm{/}(2-3a)$、$xy=b\mathrm{/}(2-3a)$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t}& {\displaystyle =2a{y}^2-2bxy+a{x}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a(1-2a)-2(1-2a)(1-a)+a(1-a)}{2-3a}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3a-1.}\end{array}$$よって$$Q=(-\sqrt{{\displaystyle \frac{1-2a}{2-3a}}},\sqrt{{\displaystyle \frac{1-a}{2-3a}}}),t=3a-1.$$(3)
$OP=OQ=1$、$OP\perp OQ$ なので$$[\mathrm{△}OPQ]={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$