東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
$X=d$ とし、最小値を $s$、最大値を $s+d$ とする。差の範囲は$$2\leqq d\leqq 2n-1.$$$s$ の選び方は $2n-d$ 通りであり、3つ目の数は両端の間から選ぶので $d-1$ 通りである。全体は ${}_{2n}{\mathrm{C}}_3$ 通りだから$$P(X=d)={\displaystyle \frac{(2n-d)(d-1)}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_3}}(d=2,3,\dots ,2n-1)\mathrm{.}$$それ以外では確率は0である。

(2) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X\leqq n)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{d=2}^n(2n-d)(d-1)}}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_3}}\mathrm{.}}\end{array}$$$j=d-1$ とおくと分子は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}(2n-1-j)j}& {\displaystyle =(2n-1){\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}-{\displaystyle \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)(2n-1)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$${}_{2n}{\mathrm{C}}_3={\displaystyle \frac{2n(2n-1)(n-1)}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$P(X\leqq n)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

まず $X\leqq d$ となる組を最大値ごとに数える。最大値の直前 $d$ 個から2数を選ぶ形にして累積分布を求め、差分から確率分布を出す。

(1)
$2\leqq d\leqq 2n-1$ とする。取り出した3数の最大値を $r$ とすると、残る2数は$$\max (1,r-d),\dots ,r-1$$から選ぶ。$r\leqq d+1$ と $r\geqq d+2$ に分ければ、$X\leqq d$ となる組の数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_d}& {\displaystyle =\sum _{r=3}^{d+1}{}_{r-1}{\mathrm{C}}_2+\sum _{r=d+2}^{2n}{}_d{\mathrm{C}}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={}_{d+1}{\mathrm{C}}_3+(2n-d-1){}_d{\mathrm{C}}_2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$P(X=d)={\displaystyle \frac{N_d-N_{d-1}}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_3}}\mathrm{.}$$差を整理すると$$N_d-N_{d-1}=(2n-d)(d-1)$$だから$$P(X=d)={\displaystyle \frac{(2n-d)(d-1)}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_3}}\mathrm{.}$$(2)
$d=n$ を累積個数へ直接代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_n}& {\displaystyle ={}_{n+1}{\mathrm{C}}_3+(n-1){}_n{\mathrm{C}}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)(2n-1)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$P(X\leqq n)={\displaystyle \frac{N_n}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$