東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

2組の残り枚数を、多い方から順に $(m,n)$ と書くことにする。$m=n$ のときは、どちらの組から除いても次の状態は $(m,m-1)$ で同じである。$m>n$ のとき、多い組から除く確率は ${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$、少ない組から除く確率は ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

状態 $(m,n)$ から始めたときの $X$ の分布を小さい状態から順に求める。明らかに $(1,1):P(X=1)=1$ である。これをもとに計算すると $$(2,1):P(X=1)={\displaystyle \frac{2}{3}},P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{3}},$$ $$(3,1):P(X=1)={\displaystyle \frac{4}{9}},P(X=2)={\displaystyle \frac{2}{9}},P(X=3)={\displaystyle \frac{1}{3}},$$ $$(3,2):P(X=1)={\displaystyle \frac{16}{27}},P(X=2)={\displaystyle \frac{8}{27}},P(X=3)={\displaystyle \frac{1}{9}}\mathrm{.}$$さらに$$(4,1):P(X=1)={\displaystyle \frac{8}{27}},P(X=2)={\displaystyle \frac{4}{27}},P(X=3)={\displaystyle \frac{2}{9}},P(X=4)={\displaystyle \frac{1}{3}},$$$$(4,2):P(X=1)={\displaystyle \frac{40}{81}},P(X=2)={\displaystyle \frac{20}{81}},P(X=3)={\displaystyle \frac{4}{27}},P(X=4)={\displaystyle \frac{1}{9}},$$$$(4,3):P(X=1)={\displaystyle \frac{136}{243}},P(X=2)={\displaystyle \frac{68}{243}},P(X=3)={\displaystyle \frac{10}{81}},P(X=4)={\displaystyle \frac{1}{27}}$$となる。

初期状態は $(4,4)$ であり、1回除くと必ず状態 $(4,3)$ になる。したがって初期状態からの分布も $(4,3)$ と同じで、$$P(X=1)={\displaystyle \frac{136}{243}},P(X=2)={\displaystyle \frac{68}{243}},P(X=3)={\displaystyle \frac{10}{81}},P(X=4)={\displaystyle \frac{1}{27}}$$である。なお $${\displaystyle \frac{10}{81}}={\displaystyle \frac{30}{243}}$$、$${\displaystyle \frac{1}{27}}={\displaystyle \frac{9}{243}}$$ なので確率の和は $${\displaystyle \frac{136+68+30+9}{243}}=1$$ である。

期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =1\cdot {\displaystyle \frac{136}{243}}+2\cdot {\displaystyle \frac{68}{243}}+3\cdot {\displaystyle \frac{10}{81}}+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{136+136+90+36}{243}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{398}{243}}\mathrm{.}}\end{array}$$である。

多い方・少ない方の枚数が $(m,n)$ のとき、最後に $j$ 枚残る確率を $p_{m,n}(j)$ と置く。同数なら次は必ず $(m,m-1)$、枚数が異なれば確率 $2\mathrm{/}3$ で多い方、$1\mathrm{/}3$ で少ない方から1枚除く。この全確率の関係を各 $j$ について用い、小さい状態から表を埋める。

状態 $(m,n)$ は $m\geqq n$ とし、この状態から始めて最後に $j$ 枚残る確率を $p_{m,n}(j)$ とおく。終了状態では$$p_{m,0}(j)=\{\begin{array}{ll}1& (j=m),\\ 0& (j\text{neqq}m)\end{array}$$である。また、同数ならどちらから除いても並べ直した次の状態は同じなので$$p_{m,m}(j)=p_{m,m-1}(j)\mathrm{.}$$枚数が異なるときは、全確率より$$p_{m,n}(j)={\displaystyle \frac{2}{3}}{p}_{\max (m-1,n),\min (m-1,n)}(j)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{p}_{m,n-1}(j)(m>n)$$となる。

この式を $j=1,2,3,4$ のそれぞれについて小さい状態から順に使うと、列を $j=1,2,3,4$ の順に並べた確率表は$$\begin{array}{ccccc}\text{状態}& 1& 2& 3& 4\\ (2,1)& {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& 0& 0\\ (3,1)& {\displaystyle \frac{4}{9}}& {\displaystyle \frac{2}{9}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\\ (3,2)& {\displaystyle \frac{16}{27}}& {\displaystyle \frac{8}{27}}& {\displaystyle \frac{1}{9}}& 0\\ (4,1)& {\displaystyle \frac{8}{27}}& {\displaystyle \frac{4}{27}}& {\displaystyle \frac{2}{9}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ (4,2)& {\displaystyle \frac{40}{81}}& {\displaystyle \frac{20}{81}}& {\displaystyle \frac{4}{27}}& {\displaystyle \frac{1}{9}}\\ (4,3)& {\displaystyle \frac{136}{243}}& {\displaystyle \frac{68}{243}}& {\displaystyle \frac{10}{81}}& {\displaystyle \frac{1}{27}}\end{array}$$となる。初期状態 $(4,4)$ からは必ず $(4,3)$ へ移るので、求める分布は$$P(X=1)={\displaystyle \frac{136}{243}},P(X=2)={\displaystyle \frac{68}{243}},P(X=3)={\displaystyle \frac{10}{81}},P(X=4)={\displaystyle \frac{1}{27}}\mathrm{.}$$確率の和は $1$ である。したがって期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =1\cdot {\displaystyle \frac{136}{243}}+2\cdot {\displaystyle \frac{68}{243}}+3\cdot {\displaystyle \frac{10}{81}}+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{398}{243}}\mathrm{.}}\end{array}$$