東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
仮説のもとでは、$A$ の良品率は $$1-{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{15}{16}}$$ であり、$B$ の良品率は $$1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$$ であり、$C$ の良品率は $$1-{\displaystyle \frac{1}{25}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$$ である。

1個の商品には $A$ が3個、$B$ が2個、$C$ が1個含まれる。完全な商品であるためには、これらすべてが良品でなければならない。したがって求める確率は$${\left({\displaystyle \frac{15}{16}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^2\left({\displaystyle \frac{24}{25}}\right)$$である。これを約分すると ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ である。

(2) $(1)$ の仮説が正しいとすると、完全な商品の個数を $X$ とすれば、$X$ は試行回数960、成功確率 $5\mathrm{/}8$ の二項分布に従うと考えられる。したがって平均は $$960\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}=600$$ であり、分散は $$960\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}=225$$ である。標準偏差は $$\sqrt{225}=15$$ である。

観測された完全な商品の個数は640個なので、標準化すると $$Z={\displaystyle \frac{640-600}{15}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$$ である。これは約 $2.67$ である。

5％の両側検定では、標準正規分布による棄却域はおよそ $\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }>1.96$ である。ここでは $${\displaystyle \frac{8}{3}}>1.96$$ であるから、観測値は棄却域に入る。したがって、5％の有意水準では仮説を棄却する。

よって、$(1)$ の仮説は $\text{正しいと判断してよいとはいえない}$ である。

完全品率を良品率の積で求める。仮説のもとで個数の平均・標準偏差を出し、5%両側検定の採択域を実際の個数の区間へ戻して640が外れることを判定する。

(1)
完全品率は$${\left({\displaystyle \frac{15}{16}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^2\left({\displaystyle \frac{24}{25}}\right)={\displaystyle \frac{5}{8}}\mathrm{.}$$(2)
仮説が正しいとき、960商品の完全品数 $X$ の平均と標準偏差は$$\mu =960\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}=600,\sigma =\sqrt{960\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}}=15.$$5%両側検定で仮説を棄却しない範囲は、標準正規分布の $1.96$ を用いて$$600-1.96\cdot 15\leqq X\leqq 600+1.96\cdot 15.$$すなわち、およそ$$570.6\leqq X\leqq 629.4$$である。観測値640はこの範囲外であり、標準化した値も$${\displaystyle \frac{640-600}{15}}={\displaystyle \frac{8}{3}}>1.96$$となる。よって5%の有意水準で仮説を棄却し、「正しいと判断してよい」とはいえない。