東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
1回の試行で，負の方向に1だけ動く確率は $${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり，正の方向に2だけ動く確率は $${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。

8回のうち，正の方向に2だけ動く回数を $j$ とする。このとき負の方向に1だけ動く回数は $8-j$ であり，8回後の位置 $X$ は $X=2j-(8-j)=3j-8$ である。また $j$ は$$P(j)={}_8{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^j{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{8-j}$$に従う。

分母を $3^8=6561$ にそろえると，各 $j$ の確率の分子は次の通りである。$$\begin{array}{cccccccccc}j& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 6561P(j)& 1& 16& 112& 448& 1120& 1792& 1792& 1024& 256\end{array}$$対応する位置は $-8,-5,-2,1,4,7,10,13,16$ である。

確率0.94以上を含む範囲をできるだけ短くするには，確率の大きい連続した位置を選ぶ。連続する4個の位置を選んだときの最大確率は $${\displaystyle \frac{1120+1792+1792+1024}{6561}}={\displaystyle \frac{5728}{6561}}<0.94$$ である。したがって4個以下の位置を含む範囲では足りない。

連続する5個の位置 $j=3,4,5,6,7$ を選ぶと，位置は $1,4,7,10,13$ であり，確率は $${\displaystyle \frac{448+1120+1792+1792+1024}{6561}}={\displaystyle \frac{6176}{6561}}>0.94$$ である。よって求める最小の範囲は $1\leqq X\leqq 13$ である。

(2)
1回の移動量を $Y$ とする。すると$$Y=\{\begin{array}{ll}-1& \text{確率 }1\mathrm{/}3,\\ 2& \text{確率 }2\mathrm{/}3\end{array}$$であるから，1回あたりの平均は $$E(Y)=(-1)\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=1$$ である。8回の移動量の平均はその8倍なので $8$ である。

正方向へ進む回数 $J$ の分布を位置の棒グラフとして見る。4つの連続した到達点を含む区間では確率不足であることを最頻部で確認し、5点区間は両側の小さい確率を補集合で除いて0.94を超えることを示す。平均は $X=3J-8$ から求める。

(1) 正方向へ2進む回数を $J$ とすると$$X=2J-(8-J)=3J-8$$であり、$$P(J=j)={}_8{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^j{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{8-j}\mathrm{.}$$分母を $3^8=6561$ にそろえた分子は$$1,16,112,448,1120,1792,1792,1024,256$$である。

到達点は3ずつ離れているので、4個以下の連続した到達点を含む区間のうち確率最大のものは $j=4,5,6,7$ である。その確率は$${\displaystyle \frac{1120+1792+1792+1024}{6561}}={\displaystyle \frac{5728}{6561}}<\mathrm{0.94.}$$一方、$j=3,4,5,6,7$ を含めると、補集合を使って$$1-{\displaystyle \frac{1+16+112+256}{6561}}={\displaystyle \frac{6176}{6561}}>\mathrm{0.94.}$$対応する位置は $1,4,7,10,13$ だから、最小の範囲は$$1\leqq X\leqq 13$$である。

(2) $J$ の平均は $8\cdot 2\mathrm{/}3=16\mathrm{/}3$ である。したがって$$E(X)=3E(J)-8=8.$$