東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=3-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n\mathrm{.}$$$n\geqq 3$ より$${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n\geqq {\displaystyle \frac{27}{8}}>3$$なので$$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)<0$$である。

(2) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^{n-1}\{(n+1)x-2n\}\mathrm{.}$$$x>0$ では $x=2n\mathrm{/}(n+1)$ を境に減少から増加へ変わる。また$$f(0)=3,f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)<0,f(2)=3.$$したがって正の解は $0<x<3\mathrm{/}2$ と $3\mathrm{/}2<x<2$ に1個ずつあり、単調性からほかにはない。よって正の解は$$\mathbf{2}\text{個}$$である。

$x<0$ では$$f(x)=2x^n(x-2)+3.$$$n$ が奇数なら $x^n<0,x-2<0$ なので $f(x)>0$ であり、負の解はない。
$n$ が偶数なら $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ で、さらに$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },f(0)=3$$だから負の解は1個である。以上より$$\text{負の解は }\mathbf{n}\text{ が偶数なら1個、奇数なら0個}$$である。

$0<x<2$ で山が1つだけなので、水平線 $y=3$ と2点で交わる

正の解について $f(x)=0$ を $2x^n(2-x)=3$ と読み替え、左辺の山形のグラフと水平線の交点数を数える。負の解は $x=-s$ と置いて符号と単調性を調べる。

(1) $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=3-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n<0$$である。

(2)
正の解は$$H(x)=2x^n(2-x)=3$$の解であり、必ず $0<x<2$ にある。$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^{n-1}\{2n-(n+1)x\}$$だから $H$ は $x=2n\mathrm{/}(n+1)$ まで増加し、その後減少する。一方$$H(0)=H(2)=0,H\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n>3.$$よって水平線 $y=3$ との交点はちょうど2個であり、正の解は2個である。

負の解について $x=-s(s>0)$ と置くと$$f(-s)=2(-1{)}^{n+1}{s}^{n+1}-4(-1{)}^n{s}^n+3.$$$n$ が奇数なら全項が正で解はない。$n$ が偶数なら$$f(-s)=3-2s^n(s+2)$$で、右辺は $s$ とともに $3$ から単調に $-\mathrm{\infty }$ へ減るので解は1個である。

したがって$$\text{正の解は2個、負の解は偶数 }\mathbf{n}\text{ で1個、奇数 }\mathbf{n}\text{ で0個}$$である。