東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $3<3^2<\cdots <3^{2n}$ であり、$f(x)$ はこれら $2n$ 個の点から $x$ までの距離の和である。 $x$ が区間 $3^j<x<3^{j+1}$ にあるとき、左側にある点の個数を $j$、右側にある点の個数を $2n-j$ と見ると、$x$ を少し右に動かしたとき、左側の距離は $j$ 個増え、右側の距離は $2n-j$ 個減る。したがって $j<n$ では右に動かすと $f(x)$ は減少し、$j>n$ では右に動かすと $f(x)$ は増加する。
中央である $3^n\leqq x\leqq 3^{n+1}$ では、左側と右側の個数がどちらも $n$ 個になるため、距離和は一定で最小となる。

よって、$f(x)$ の値を最小にする $x$ の集合は $[3^n,3^{n+1}]$ である。

(2) $3^n\leqq x\leqq 3^{n+1}$ とする。このとき $$f(x)=\sum _{k=1}^n(x-3^k)+\sum _{k=n+1}^{2n}(3^k-x)$$ である。左側、右側ともに $n$ 個ずつあるので、$x$ の項は打ち消し合い、$$a_n=\sum _{k=n+1}^{2n}{3}^k-\sum _{k=1}^n{3}^k$$ となる。
等比数列の和を用いると$$\sum _{k=n+1}^{2n}{3}^k={\displaystyle \frac{3^{2n+1}-3^{n+1}}{2}},\sum _{k=1}^n{3}^k={\displaystyle \frac{3^{n+1}-3}{2}}$$である。したがって $$a_n={\displaystyle \frac{3^{2n+1}-2\cdot 3^{n+1}+3}{2}}$$ である。

また $9^n=3^{2n}$ だから$${\displaystyle \frac{a_n}{9^n}}={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3^{n+1}}{3^{2n}}}+{\displaystyle \frac{3}{2\cdot 3^{2n}}}$$である。右辺の第2項、第3項は $n\to \mathrm{\infty }$ で $0$ に近づくので $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{9^n}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。

左右の項を対にすると、中央区間では各対の距離和が一定になる

(1) 中央の2点をはさむ区間で、左から $k$ 番目と右から $k$ 番目を対にする。各対までの距離和が $x$ によらず一定になることを示す。区間の外では少なくとも一対の和が増える。(2) 対ごとの差を等比数列として合計し、極限を取る。

(1) $3^n\leqq x\leqq 3^{n+1}$ とする。$k=1,\dots ,n$ に対し、点 $3^k$ と点 $3^{2n+1-k}$ を対にする。このとき$$3^k\leqq x\leqq 3^{2n+1-k}$$だから、この対からの距離の和は$$(x-3^k)+(3^{2n+1-k}-x)=3^{2n+1-k}-3^k$$となり、$x$ によらない。全ての対について同じなので、中央区間では $f(x)$ は一定である。

$x<3^n$ から右へ動かすと右側の点の方が多いため距離和は減り、$x>3^{n+1}$ では右へ動かすと距離和は増える。したがって最小となる集合は$$[3^n,3^{n+1}]$$である。

(2) 上の対の和を合計すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n(3^{2n+1-k}-3^k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=n+1}^{2n}{3}^j-\sum _{k=1}^n{3}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3^{2n+1}-2\cdot 3^{n+1}+3}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{a_n}{9^n}}={\displaystyle \frac{3}{2}}-3^{1-n}+{\displaystyle \frac{3}{2\cdot 9^n}}⟶{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$よって極限値は $3\mathrm{/}2$ である。