東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
まず$${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}}{x}}=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x}}}}$$であり、$x\to +\mathrm{\infty }$ で右辺は $1$ に近づく。したがって差が $0$ に近づくためには $a=1$ でなければならない。

次に$$\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}-x={\displaystyle \frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}+x}}$$である。分母を $x$ で割って見ると$${\displaystyle \frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}+x}}={\displaystyle \frac{2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x}}}}+1}}$$であり、$x\to +\mathrm{\infty }$ で $${\displaystyle \frac{2}{2}}=1$$ に近づく。したがって $\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}-(x+1)\to 0$ であるから $a=1,b=1$ である。

(2)
(1) より直線は $y=x+1$ である。曲線を $$y=\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}$$ とおく。$x\geqq 0$ で両方とも非負であり、$$(x+1{)}^2-(x^2+2x+\sqrt{x})=1-\sqrt{x}$$ である。したがって $0\leqq x\leqq 1$ では直線の方が上にあり、$x=1$ で曲線と直線が交わる。

よって、回転体の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1\{(x+1{)}^2-(x^2+2x+\sqrt{x})\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1(1-\sqrt{x})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {[x-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3\mathrm{/}2}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$直線は無限遠で曲線に近づき、$0\leqq x\leqq 1$ で曲線の上にある

(1) 根号内と $(x+1{)}^2$ の差が $\sqrt{x}-1$ になることを利用し、まず曲線が直線 $y=x+1$ に近づくことを直接示す。その後、一般の $ax+b$ との差の極限から一意性を確認する。(2) 平方差が $1-\sqrt{x}$ なので、交点と上下関係を同時に決め、円板の差を積分する。

(1) $$x^2+2x+\sqrt{x}-(x+1{)}^2=\sqrt{x}-1$$だから、有理化すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}-(x+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x}}+x+1}}⟶0.}\end{array}$$よって $a=1,b=1$ なら条件を満たす。

また曲線を $F(x)$ と書けば $F(x)-(x+1)\to 0$ である。一般の $a,b$ に対して$$F(x)-(ax+b)=\{F(x)-(x+1)\}+(1-a)x+(1-b)$$だから、この極限が0となるには$$a=1,b=1$$でなければならない。

(2) $x\geqq 0$ では両方とも非負であり、$$(x+1{)}^2-\{x^2+2x+\sqrt{x}\}=1-\sqrt{x}\mathrm{.}$$したがって $0\leqq x\leqq 1$ で直線が曲線の上にあり、$x=1$ で交わる。求める回転体の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1[(x+1{)}^2-\{x^2+2x+\sqrt{x}\}]dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1(1-\sqrt{x})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {[x-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3\mathrm{/}2}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$