東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

$u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ とおく。$0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ では$$y=2u-{\displaystyle \frac{3}{2}}+2({\displaystyle \frac{3}{4}}-u)=0,$$$u\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ では$$y=2u-{\displaystyle \frac{3}{2}}+2(u-{\displaystyle \frac{3}{4}})=4u-3.$$したがって$$y=\{\begin{array}{ll}0& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}),\\ 4\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-3& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}})\mathrm{.}\end{array}$$(2)

$x\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ で交点を求めると$$x^2+1=4x-3⟺(x-2{)}^2=0.$$右側の交点は $x=2$ である。

円筒殻の高さは、$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ では $x^2+1$、
${\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq x\leqq 2$ では $(x-2{)}^2$ である。よって$$V=2\pi {\int }_0^{3\mathrm{/}4}x(x^2+1)dx+2\pi {\int }_{3\mathrm{/}4}^{2}x(x-2{)}^{2}dx\mathrm{.}$$計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi \{{[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^{3\mathrm{/}4}+{[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+2x^2]}_{3\mathrm{/}4}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi ({\displaystyle \frac{369}{1024}}+{\displaystyle \frac{2125}{3072}})={\displaystyle \frac{101\pi }{48}}\mathrm{.}}\end{array}$$

高さ $y$ ごとに回転後の断面を調べる。
$0\leqq y\leqq 1$ は円板、$1\leqq y\leqq 5$ は内半径をもつ円環になる。

(1)

$u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ とおけば、絶対値の中の符号により$$y=\{\begin{array}{ll}0& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}),\\ 4\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-3& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}})\mathrm{.}\end{array}$$したがって、$-3\mathrm{/}4\leqq x\leqq 3\mathrm{/}4$ では $x$ 軸上にあり、
その両端から傾き $\mp 4$ の半直線が延びる $y$ 軸対称な折れ線である。

(2)

折れ線の右側の斜線は$$x={\displaystyle \frac{y+3}{4}}$$と書ける。放物線は $y=x^2+1$ だから、$y\geqq 1$ では$$x=\sqrt{y-1}\mathrm{.}$$$0\leqq y\leqq 1$ の水平断面は外半径 ${\displaystyle \frac{y+3}{4}}$ の円板である。
$1\leqq y\leqq 5$ では、外半径 ${\displaystyle \frac{y+3}{4}}$、内半径
$\sqrt{y-1}$ の円環になる。したがって$$V=\pi {\int }_0^1{\left({\displaystyle \frac{y+3}{4}}\right)}^{2}dy+\pi {\int }_1^5\{{\left({\displaystyle \frac{y+3}{4}}\right)}^2-(y-1)\}dy\mathrm{.}$$計算すると$$\pi {\int }_0^1{\left({\displaystyle \frac{y+3}{4}}\right)}^{2}dy+\pi {\int }_1^5\{{\left({\displaystyle \frac{y+3}{4}}\right)}^2-(y-1)\}dy={\displaystyle \frac{101\pi }{48}}\mathrm{.}$$