東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$と置く。第1の条件を展開すると$$(a-1)x^2+(b+c)xy+(d-1)y^2=0$$が任意の $x,y$ で成り立つので$$a=d=1,c=-b\mathrm{.}$$さらに$$\mathrm{\mid }A\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2=(1+b^2)(x^2+y^2)=4(x^2+y^2)$$より $b^2=3$ である。したがって$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)\text{または}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{A\mathit{u}\cdot \mathit{u}}{\mathrm{\mid }A\mathit{u}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから$$\mathbf{\varphi }={\displaystyle \frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}}\mathrm{.}$$(3)
2つの行列はそれぞれ、倍率2の拡大と角 $-\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}3$ の回転である。したがって像は半径2の円弧で、偏角の範囲は$$-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\leqq \varphi \leqq -{\displaystyle \frac{\pi }{3}},-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$の2通りである。

標準ベクトル ${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$ とその和だけを条件へ代入し、行列の列ベクトルを決める。像の長さが2倍、内積が元の長さの2乗という情報から回転角を読む。

(1) $$A{\mathit{e}}_1=(a,c),A{\mathit{e}}_2=(b,d)$$とする。${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$ を条件へ代入すると$$a=d=1,a^2+c^2=b^2+d^2=4.$$よって $b,c=\pm \sqrt{3}$ である。さらに
${\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2$ を第1の内積条件へ代入すると$$a+b+c+d=2,$$すなわち $b+c=0$ である。したがって$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)\text{または}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
条件そのものから$$\mathrm{\mid }A\mathit{u}\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid },A\mathit{u}\cdot \mathit{u}=\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$したがって角は $\mathbf{\pi }\mathbf{/}\mathbf{3}$ である。

(3)
${\mathit{e}}_1$ の像は $(1,\mp \sqrt{3})$ なので偏角は $\mp \pi \mathrm{/}3$、長さは2である。したがって元の第4象限の単位円弧は、半径2で偏角$$[-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}},-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]\text{または}[-{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]$$の円弧へ移る。