方針
導関数の零点 x=a が区間に入るかで場合分けする。
極大候補と両端の値を比較し、最大値と最小値を整理する。
解答
f′(x)=3(a−x2),f(0)=0,f(1)=3a−1.a<0 のときは区間全体で f′(x)<0 だから単調減少であり、maxf=0,minf=3a−1.0≦a≦1 のときは x=a で増加から減少へ変わり、f(a)=2aaが最大値である。最小値は両端の小さい方なのでa の範囲0≦a≦3131≦a≦1maxf2aa2aaminf3a−10となる。
a>1 のときは区間全体で f′(x)>0 だから単調増加であり、maxf=3a−1,minf=0.
別解
解法2（因数分解による直接比較）
方針
候補値との差を因数分解し、区間 0≦x≦1 での符号を直接判定する。
導関数を使わずに各場合の上界・下界と等号条件を同時に示す。
解答
a<0 ではf(x)=x(3a−x2)≦0であり、さらにf(x)−(3a−1)=(1−x)(x2+x+1−3a)≧0.よって最大値0、最小値 3a−1 である。
0≦a≦1 とし、r=a とおく。恒等式2r3−f(x)=x3−3r2x+2r3=(x−r)2(x+2r)≧0より最大値は 2aa である。
0≦a≦31 ではf(x)−(3a−1)=(1−x)(x2+x+1−3a)≧0なので最小値は 3a−1 である。一方、
31≦a≦1 では 3a≧1≧x2 よりf(x)=x(3a−x2)≧0,したがって最小値は0である。
最後に a>1 では f(x)≧0 であり、(3a−1)−f(x)=(x−1)(x2+x+1−3a)≧0だから最大値は 3a−1、最小値は0である。以上は解法1の表と一致する。
総評
難度5、計算量5、目安10〜15分。場合分けの境界は、停留点が区間へ入る a=0,1 と、両端の値が一致する a=1/3 である。
採点では候補を挙げるだけでなく、各範囲でそれが最大・最小である理由を示すことが重要である。
因数分解による別解は等号成立点まで同時に確認でき、導関数による標準解法の検算にもなる。
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冊子PDFで見る東北大の関数の問題で問題集を作る
出典: 東北大学 1981年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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