Evolton
方針
条件は と、すべての に対する上側の制限に分けられる。上側は の における下限であり、 と で最小の取り方が変わる。下側直線と上側曲線が交わる範囲を求め、2つの積分に分けて面積を出す。
解答
(1)
条件は かつ、すべての について であることを意味する。 とおく。上側の境界は、 における の下限で決まる。
微分すると である。 のとき、 では である。したがって は増加し、下限は を に近づけたときの である。よって となる。 のとき、 となる正の値は である。そこで最小となり、 である。よって となる。
したがって領域 は で表される。さらに上下の大小から範囲を決める。 では すなわち である。これは であり、 だから である。 では より である。
よって および である。図は、下側が直線 、上側が で曲線 、 で直線 となる領域である。境界上の主な点は である。
(2)
面積は2つに分けてである。
第1項はである。第2項はである。したがって である。
では曲線、 では直線が上側境界
別解
解法2
方針
(1) 上側の式から候補境界を引いた差を因数分解し、微分を使わず全ての に対する最小値を求める。(2) 下側直線との差を、曲線部分と直線部分に分けて積分する。
解答
(1) 上側の式をとおく。
ならであり、 で右辺は0へ近づく。したがって全ての に対する上限条件はである。
なら で等号となるから、上限条件はである。
下側条件 と両立する範囲を調べる。 ではより である。 ではより である。したがってとなる。
(2) 面積を とすると
総評
全ての正の に対する不等式を、関数の下限問題に変換する領域問題。目安時間は26分。上側境界は の値を1つ選ぶのではなく、全ての で成り立つための最も厳しい上限を取る必要がある。 と で下限の出方が変わり、領域も曲線部分と直線部分に分かれる点が最大の注意点である。 2つの解法と解説図を相互に照合し、境界値・必要十分性・符号も確認した。