東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
2つの解を$\alpha ,\beta$とする。解と係数の関係より $$\alpha +\beta =-a,\alpha \beta =b$$ である。また、2つの解の差が1であるから $(\alpha -\beta {)}^2=1$ である。一方、$$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =a^2-4b$$ なので $a^2-4b=1$ を得る。したがって $$b={\displaystyle \frac{a^2-1}{4}}$$ である。

(2)
放物線上の点は$y=x^2+ax+b$である。グラフが領域$2x+y<0$を通らない条件は、すべての実数$x$について $2x+x^2+ax+b\geqq 0$ が成り立つことである。すなわち $x^2+(a+2)x+b\geqq 0$ が常に成り立てばよい。

(1) の結果を代入すると $x^2+(a+2)x+{\displaystyle \frac{a^2-1}{4}}\geqq 0$ をすべての実数$x$で満たす条件を求めればよい。この2次式の先頭係数は正なので、判別式が0以下であることが必要十分である。よって $(a+2{)}^2-4\cdot {\displaystyle \frac{a^2-1}{4}}\leqq 0$ である。整理すると $a^2+4a+4-a^2+1\leqq 0,4a+5\leqq 0$ となるから $a\leqq -{\displaystyle \frac{5}{4}}$ である。

解の差の2乗は判別式そのものなので、(1)を直ちに処理する。(2)は放物線上で $y+2x$ を平方完成し、その最小値が0以上となる条件を読む。

(1)

2解の差の絶対値は、判別式の平方根に等しい。差が1だから$$a^2-4b=1.$$したがって$$b={\displaystyle \frac{a^2-1}{4}}\mathrm{.}$$(2)

放物線上では$$y+2x=x^2+(a+2)x+{\displaystyle \frac{a^2-1}{4}}={(x+{\displaystyle \frac{a+2}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{4a+5}{4}}\mathrm{.}$$グラフが開領域 $y+2x<0$ を通らないための必要十分条件は、この式の最小値が0以上であることだから$$-{\displaystyle \frac{4a+5}{4}}\geqq 0.$$よって$$a\leqq -{\displaystyle \frac{5}{4}}\mathrm{.}$$等号のときは境界直線に接するだけなので含まれる。