東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $F(x)=(x+a{)}^3-3x-a^2$ とおく。求める条件は、$x<0$ において $F(x)=0$ となる $x$ が存在しないことである。

まず $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=-\mathrm{\infty }$$ である。したがって、$x<0$ で一度でも $F(x)>0$ になれば、その手前で0を通り、負の解をもつ。逆に $x<0$ で常に $F(x)<0$ なら負の解をもたない。

導関数は $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x+a{)}^2-3=3\{(x+a{)}^2-1\}$$ である。よって極値をとる候補は $x=-a-1,x=-a+1$ である。符号変化から、$x=-a-1$ が極大点、$x=-a+1$ が極小点である。 $a\leqq -1$ のとき、極大点 $-a-1$ は $0$ 以上であり、$x<0$ では $F(x)$ は増加し続ける。また $F(0)=a^3-a^2=a^2(a-1)<0$ なので、$x<0$ では常に $F(x)<0$ である。したがってこの場合は条件を満たす。

次に $a>-1$ とする。このとき極大点 $-a-1$ は負の範囲に入る。負の解をもたないためには、この極大値が0未満でなければならない。実際、極大値が0以上なら、$-\mathrm{\infty }$ で負だった値が0に達するので負の解をもつ。

極大値は $$F(-a-1)=(-1{)}^3-3(-a-1)-a^2=-a^2+3a+2$$ である。したがって必要な条件は $-a^2+3a+2<0$ である。これは $a^2-3a-2>0$ すなわち $$a<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{2}}\text{または}a>{\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{2}}$$ である。

ただし $a>1$ の場合は $F(0)=a^2(a-1)>0$ であり、$x<0$ のどこかで0を通る。したがって $a>1$ は除かれる。結局、$a>-1$ の範囲で残るのは $$-1<a<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{2}}$$ である。$a\leqq -1$ の場合と合わせて $$a<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{2}}$$ である。

等号 $$a=(3-\sqrt{17})\mathrm{/}2$$ では、負の極大点で $F(x)=0$ となるため、負の解をもつ。したがって等号は含まない。

負の半直線と極大点

変数を $u=x+a$ と移し、負の解に対応する半直線 $u<a$ 上で三次式 $u^3-3u+3a-a^2$ の符号を調べる。端点と極大値を比較し、等号で負の重解が生じることまで確認する。

$u=x+a$ とおくと、方程式は$$H(u)=u^3-3u+3a-a^2=0$$となり、負の解 $x<0$ は $u<a$ の解に対応する。$H(u)\to -\mathrm{\infty }$
$(u\to -\mathrm{\infty })$ であり、$$H^{\mathrm{\prime }}(u)=3(u^2-1)$$だから極大点は $u=-1$ である。

$a\leqq -1$ なら半直線 $u<a$ は極大点の左側にあり、$H$ はそこで増加する。
さらに$$H(a)=a^3-a^2=a^2(a-1)<0$$だから $u<a$ では $H(u)<0$ で、負の解はない。

$a>-1$ なら極大点 $u=-1$ が $u<a$ に入る。負の解を生じさせないためには$$H(-1)=-a^2+3a+2<0$$が必要である。また $a>1$ では $H(a)>0$ なので、連続性から $u<a$ に
零点が生じる。したがって $a\leqq 1$ のもとで上の不等式を解けば$$a<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{2}}$$を得る。等号では $u=-1<a$ が零点になるため含まれない。