東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

$F(x)=x^3-ax+1$ とおく。

まず $a\leqq 0$ のとき，$x\geqq 0$ なら $x^3\geqq 0,-ax\geqq 0$ である。したがって $F(x)=x^3-ax+1\geqq 1>0$ となり，条件を満たす。

次に $a>0$ とする。このとき $F^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-a$ であり，$x\geqq 0$ では $$x=\sqrt{a\mathrm{/}3}$$ で $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号が負から正に変わる。よって $F(x)$ はこの点で最小値をとる。

最小値は$$F\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}\right)={\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}\right)}^3-a\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}+1=1-{\displaystyle \frac{2a^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}$$である。したがって，すべての $x\geqq 0$ で $F(x)\geqq 0$ となるための条件は $1-{\displaystyle \frac{2a^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}\geqq 0$ である。$a>0$ なので，これは $2a^{3\mathrm{/}2}\leqq 3\sqrt{3}$ すなわち $$a\leqq {\left({\displaystyle \frac{27}{4}}\right)}^{1\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}$$ と同値である。 $a\leqq 0$ の場合もこの範囲に含まれるので，求める範囲は $$a\leqq {\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}$$ である。

$x>0$ では不等式を $a\leqq x^2+1\mathrm{/}x$ と変形する。
したがって「すべての $x$」という条件は、右辺の最小値を求める問題に置き換わる。

$x=0$ では左辺は1なので、$a$ によらず条件を満たす。
$x>0$ では$$x^3-ax+1\geqq 0⟺a\leqq x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}$$よって必要十分条件は、$a$ が$$g(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}(x>0)$$の最小値以下であることである。$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{2x^3-1}{x^2}}$$より、$g$ は $x=2^{-1\mathrm{/}3}$ まで減少し、その後増加する。したがって$$\underset{x>0}{\min }g(x)=g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(2^{-1\mathrm{/}3}\right)=2^{-2\mathrm{/}3}+2^{1\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}\mathrm{.}$$ゆえに求める範囲は$$a\leqq {\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}\mathrm{.}$$端点では $x=2^{-1\mathrm{/}3}$ で等号が実現するので、端点を含む。