東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

左辺を $$F(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx-2a^{2}b$$ とおく。導関数は $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-6(a+b)x+6ab=6(x-a)(x-b)$$ である。

3次方程式が3つの相異なる実数解をもつためには，グラフが極大値と極小値をもち，その二つの値が $x$ 軸をはさんでいなければならない。そこで $F(a)$，$F(b)$ を計算する。 $$F(a)=2a^3-3(a+b)a^2+6a^{2}b-2a^{2}b=a^2(b-a)$$ であり，$$F(b)=2b^3-3(a+b)b^2+6a{b}^2-2a^{2}b=-b(b-a)(b-2a)$$ である。

まず $a<b$ の場合を考える。このとき $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $$+(x<a),-(a<x<b),+(b<x)$$ となるので，$x=a$ で極大，$x=b$ で極小をとる。したがって3つの相異なる実数解をもつための条件は $F(a)>0,F(b)<0$ である。ここで $a<b$ なら $b-a>0$ だから，$F(a)>0$ は $a\mathrm{\ne }0$ と同値であり，$F(b)<0$ は $b(b-2a)>0$ と同値である。

次に $a>b$ の場合を考える。このとき $x=b$ で極大，$x=a$ で極小をとる。よって条件は $F(b)>0,F(a)<0$ である。$a>b$ なら $b-a<0$ なので，この場合も同じく $a\mathrm{\ne }0,b(b-2a)>0$ に整理される。

なお $a=b$ のときは極大・極小が分かれず，3つの相異なる実数解はもてないが，この場合は $b(b-2a)=-a^2$ となって上の条件に含まれない。

以上より，点 $(a,b)$ の存在する範囲は $a\mathrm{\ne }0,b(b-2a)>0$ である。図示すると，直線 $b=0$ と直線 $b=2a$ を境界として，$b>0\text{ かつ }b>2a$ または $b<0\text{ かつ }b<2a$ を満たす部分であり，境界線は含まない。さらに $a=0$ 上の点は除く。

式の斉次性を使い、$a\mathrm{\ne }0$ のもとで $x=au,t=b\mathrm{/}a$ と規格化する。
2つの停留点での関数値の積だけを調べ、条件を $t<0$ または $t>2$ に落とす。

左辺を $F(x)$ とする。$a=0$ なら $F(0)=F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ となり、
$x=0$ が重解なので条件を満たさない。よって $a\mathrm{\ne }0$ である。$$x=au,t={\displaystyle \frac{b}{a}}$$とおくと$$F(au)=a^{3}G(u),G(u)=2u^3-3(1+t)u^2+6tu-2t\mathrm{.}$$また$$G^{\mathrm{\prime }}(u)=6(u-1)(u-t)$$なので停留点は $u=1,t$ である。その値は$$G(1)=t-1,G(t)=-t(t-1)(t-2)\mathrm{.}$$3次関数が3つの相異なる実数解をもつための必要十分条件は、異なる2つの停留点での値が
0をはさむことである。ここで$$G(1)G(t)=-t(t-2)(t-1{)}^2\mathrm{.}$$したがって積が負となる条件は$$t(t-2)>0,t<0\text{ または }t>2.$$$t=1$ はこの範囲に入らず、停留点が一致する場合も自動的に除かれる。
$t=b\mathrm{/}a$ に戻すと$${\displaystyle \frac{b}{a}}<0\text{または}{\displaystyle \frac{b}{a}}>2.$$分母の符号を含めて一つの式にまとめれば$$a\mathrm{\ne }0,b(b-2a)>0.$$すなわち直線 $b=0$ と $b=2a$ を境界として$$b>0,b>2a\text{または}b<0,b<2a$$の領域であり、境界は含まない。