東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

放物線 $y=1-x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形は，$-1\leqq x\leqq 1$，$0\leqq y\leqq 1-x^2$ の部分である。固定点を $$A=(a,1-a^2)(0\leqq a\leqq 1)$$ とする。

面積を最大にする三角形では，$A$ 以外の2頂点は境界上にあるとしてよい。内部にある頂点は，もう一方の頂点と $A$ を結ぶ直線に対して面積が大きくなる方向へ境界まで動かせるからである。また $x$ 軸上の端点以外の点は，$(-1,0)$ または $(1,0)$ の方向へ動かすことで面積を小さくしない。したがって，放物線上の点 $$B=(u,1-u^2),C=(v,1-v^2)(-1\leqq u,v\leqq 1)$$ を考えれば十分である。端点 $(-1,0),(1,0)$ もこの表示に含まれる。

三角形 $ABC$ の面積を $S$ とすると $$2S=\mid (u-a)\{(1-v^2)-(1-a^2)\}-(v-a)\{(1-u^2)-(1-a^2)\}\mid$$ である。整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2S}& {\displaystyle =\mid (u-a)(a^2-v^2)-(v-a)(a^2-u^2)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid (u-a)(a-v)(a+v)-(v-a)(a-u)(a+u)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid (u-a)(v-a)(u-v)\mid }\end{array}$$となる。したがって $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }(u-a)(v-a)(u-v)\mathrm{\mid }$$ である。

まず $u\leqq a\leqq v$ の場合を考える。このとき $2S=(a-u)(v-a)(v-u)$ である。$u$ を左へ動かし，$v$ を右へ動かすほど3つの因子はいずれも小さくならないので，最大は $u=-1,v=1$ で生じる。このとき $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+1)(1-a)\cdot 2=1-a^2$$ である。

次に2点がどちらも $a$ より左にある場合を考える。$u<v\leqq a$ としてよい。このとき $2S=(a-u)(a-v)(v-u)$ である。ここで $p=a-v,q=v-u$ とおくと $$p\geqq 0,q\geqq 0,p+q=a-u\leqq a+1$$ であり $2S=(p+q)pq$ である。$p+q$ が一定なら $pq$ は $p=q$ のとき最大であり，さらに $p+q$ は大きいほど有利なので $$p=q={\displaystyle \frac{a+1}{2}}$$ のとき最大となる。このとき $$u=-1,v={\displaystyle \frac{a-1}{2}}$$ であり $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{4}}={\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{8}}$$ である。

2点がどちらも $a$ より右にある場合も同じ考え方で，最大は ${\displaystyle \frac{(1-a{)}^3}{8}}$ である。これは $0\leqq a\leqq 1$ で ${\displaystyle \frac{(1-a{)}^3}{8}}\leqq 1-a^2$ を満たすので，全体の最大候補にはならない。

したがって求める最大値は $\max \{1-a^2,{\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{8}}\}$ である。両者の大小を比べる。 $$1-a^2={\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{8}}$$ とおくと，$a\mathrm{\ne }1$ の範囲では $8(1-a)(1+a)=(a+1{)}^3$ より $8(1-a)=(a+1{)}^2$ である。すなわち $a^2+10a-7=0$ なので，$0\leqq a\leqq 1$ にある解は $a=4\sqrt{2}-5$ である。

よって求める最大値は$$\{\begin{array}{ll}1-a^2& (0\leqq a\leqq 4\sqrt{2}-5),\\ {\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{8}}& (4\sqrt{2}-5\leqq a\leqq 1)\end{array}$$である。境目では2つの式は一致する。

放物線上の2点の座標を $u<v$ とし、面積を3つの横方向の差の積へ因数分解する。固定点 $a$ を2点がはさむ場合と同じ側にある場合で、非負な間隔を変数にして積を最大化する。

放物線上の2点を $$B=(u,1-u^2),C=(v,1-v^2)(-1\leqq u<v\leqq 1)$$ とする。境界上の端点もこの表示に含まれる。座標から面積 $S$ を計算すると$$\begin{array}{cccc}& 2S=\mathrm{\mid }(u-a)(v-a)(v-u)\mathrm{\mid }\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$まず $u\leqq a\leqq v$ とし、$p=a-u,q=v-a$ とおく。このとき$$2S=pq(p+q),0\leqq p\leqq a+1,0\leqq q\leqq 1-a\mathrm{.}$$右辺は $p,q$ のそれぞれについて増加するので、$u=-1,v=1$ のとき最大となり$$\begin{array}{cccc}& S=1-a^2\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$次に $u<v\leqq a$ とする。$p=v-u,q=a-v$ とおくと$$2S=pq(p+q),p+q=a-u\leqq a+1.$$和が一定なら積 $pq$ は $p=q$ のとき最大であり、その和も最大に取ればよい。したがって $u=-1$、$v=(a-1)\mathrm{/}2$ のとき$$\begin{array}{cccc}& S={\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{8}}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$同様に $a\leqq u<v$ では最大値は $(1-a{)}^3\mathrm{/}8$ であり、これは(2)以下である。

(2) 、(3)を比較すると、等しくなるのは$$a=4\sqrt{2}-5$$である。よって最大値は$$\{\begin{array}{ll}1-a^2& (0\leqq a\leqq 4\sqrt{2}-5),\\ {\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{8}}& (4\sqrt{2}-5\leqq a\leqq 1)\end{array}$$である。