東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$f(x)=a(x-1{)}^2(x+1)+x$ である。まず $$(x-1{)}^2(x+1)=x^3-x^2-x+1$$ だから $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{(x-1{)}^2(x+1)\}=3x^2-2x-1=(x-1)(3x+1)$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=a(x-1)(3x+1)+1$ である。

よって$$F(a)={\int }_{-1}^1\{a(x-1)(3x+1)+1{\}}^{3}dx$$である。展開して積分すると $$F(a)={\displaystyle \frac{2(128a^3+224a^2+35)}{35}}$$ となる。したがって $$F^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{2}{35}}(384a^2+448a)={\displaystyle \frac{128a(6a+7)}{35}}$$ である。

臨界点は $$a=-{\displaystyle \frac{7}{6}},a=0$$ である。$F^{\mathrm{\prime }}(a)$ の符号を調べると、$a<-7\mathrm{/}6$ で正、$-7\mathrm{/}6<a<0$ で負、$a>0$ で正である。したがって $a=-7\mathrm{/}6$ では極大、$a=0$ では極小となる。

よって極小値は$$F(0)={\int }_{-1}^1{1}^{3}dx=2$$である。したがって求める極小値は $2$ である。

$q(x)=(x-1)(3x+1)$ と置き、$(1+aq{)}^3$ を展開する。対称区間で必要な3つの積分だけを計算して $F(a)$ を作り、導関数の符号から局所的な極小値を決める。

$q(x)=3x^2-2x-1$ と置くと $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+aq(x)$ である。対称区間で項別に積分すると$${\int }_{-1}^{1}q(x)dx=0,{\int }_{-1}^{1}q(x{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{64}{15}},{\int }_{-1}^{1}q(x{)}^{3}dx={\displaystyle \frac{256}{35}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\{1+aq(x){\}}^{3}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+{\displaystyle \frac{64}{5}}{a}^2+{\displaystyle \frac{256}{35}}{a}^3\mathrm{.}}\end{array}$$微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{128}{35}}a(6a+7)\mathrm{.}$$その符号は $-7\mathrm{/}6<a<0$ で負、$a>0$ で正であるため、$a=0$ で極小となる。よって極小値は$$F(0)=2.$$