東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
整数 $m$ に対して $2m-1\leqq x<2m+1$ なら $$m\leqq {\displaystyle \frac{x+1}{2}}<m+1$$ であるから $$\left[{\displaystyle \frac{x+1}{2}}\right]=m$$ である。したがってこの範囲では $f(x)=\mathrm{\mid }x-2m\mathrm{\mid }$ となる。

特に $0\leqq x<2$ では$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x<1),\\ 2-x& (1\leqq x<2)\end{array}$$である。また $f(x+2)=f(x)$ が成り立つので，$y=f(x)$ は周期2の三角波である。すなわち，各整数 $m$ について点 $(2m-1,1),(2m,0),(2m+1,1)$ を直線で結んだ折れ線を，周期2で繰り返すグラフである。

(2) $f(x)$ は周期2であり，$e^{-2x}$ は正で小さくなるので，求める極限は $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2x}f(x)dx$$ である。周期性を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2x}f(x)dx}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{2k}^{2k+2}{e}^{-2x}f(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-4k}{\int }_0^2{e}^{-2u}f(u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_0^2{e}^{-2u}f(u)du}}{1-e^{-4}}}}\end{array}$$である。

ここで1周期分を計算する。$${\int }_0^2{e}^{-2u}f(u)du={\int }_0^{1}u{e}^{-2u}du+{\int }_1^2(2-u)e^{-2u}du$$である。まず $$\int u{e}^{-2u}du=-({\displaystyle \frac{u}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})e^{-2u}$$ だから $${\int }_0^{1}u{e}^{-2u}du={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}{e}^{-2}$$ である。また $$\int (2-u)e^{-2u}du=({\displaystyle \frac{u}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}})e^{-2u}$$ なので $${\int }_1^2(2-u)e^{-2u}du={\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-4}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-2}$$ である。よって$${\int }_0^2{e}^{-2u}f(u)du={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-4}={\displaystyle \frac{(1-e^{-2}{)}^2}{4}}$$となる。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^{2n}{e}^{-2x}f(x)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(1-e^{-2}{)}^2}{4(1-e^{-4})}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-e^{-2}}{4(1+e^{-2})}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^2-1}{4(e^2+1)}}}\end{array}$$である。

床関数の値が変わる奇数点を境に、$f$ が高さ0と1を往復する周期2の三角波であることを直接読む。積分は各周期を第1周期へ平行移動し、指数関数が毎周期 $e^{-4}$ 倍になることから等比級数にする。

(1) $2m-1\leqq x<2m+1$ のとき$$\left[{\displaystyle \frac{x+1}{2}}\right]=m,f(x)=\mathrm{\mid }x-2m\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって各整数 $m$ に対して$$(2m-1,1),(2m,0),(2m+1,1)$$を線分で結ぶ周期2の三角波になる。

(2) 第1周期の積分を$$J={\int }_0^2{e}^{-2x}f(x)dx$$とおく。周期性より$${\int }_{2k}^{2k+2}{e}^{-2x}f(x)dx=e^{-4k}J$$だから$$\begin{array}{cccc}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^{2n}{e}^{-2x}f(x)dx={\displaystyle \frac{J}{1-e^{-4}}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$一方、$0\leqq x\leqq 1$ では $f(x)=x$、$1\leqq x\leqq 2$ では $f(x)=2-x$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx+{\int }_1^2(2-x)e^{-2x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(1-e^{-2}{)}^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$これを(1)へ代入して$${\displaystyle \frac{J}{1-e^{-4}}}={\displaystyle \frac{1-e^{-2}}{4(1+e^{-2})}}={\displaystyle \frac{e^2-1}{4(e^2+1)}}$$を得る。