東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
時刻0では2点とも原点にあるので、時刻 $t$ における位置の差は$${\int }_0^t\{v_1(u)-v_2(u)\}du$$である。速度差は $$v_1(u)-v_2(u)=(4u^2-6au-a^2)-(u^2+6au-10a^2)$$ すなわち $$3u^2-12au+9a^2=3(u-a)(u-3a)$$ である。したがって$${\int }_0^t(3u^2-12au+9a^2)du=t^3-6a{t}^2+9a^{2}t=t(t-3a{)}^2$$である。これは常に $\geqq 0$ なので、2点間の距離は $f(t)=t(t-3a{)}^2$ である。ただし問題の時刻では $t\geqq 0$ を考える。

(2) $f(t)=t(t-3a{)}^2$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=(t-3a{)}^2+2t(t-3a)=3(t-a)(t-3a)$$ である。端点では $$f(0)=0,f(3)=3(3-3a{)}^2=27(a-1{)}^2$$ である。また $t=a$ が区間 $[0,3]$ に入るとき、$f(a)=a(a-3a{)}^2=4a^3$ である。$t=3a$ が区間に入るときは $f(3a)=0$ なので最大値の候補にはならない。

まず $a<0$ または $a>3$ のとき、$t=a$ は区間に入らない。このとき最大値は端点 $t=3$ で $27(a-1{)}^2$ である。

次に $0\leqq a\leqq 3$ のときは、$t=a$ も候補になる。そこで $$4a^3-27(a-1{)}^2=(a-3{)}^2(4a-3)$$ を用いる。$0\leqq a<3\mathrm{/}4$ では $4a^3<27(a-1{)}^2$ なので最大値は $27(a-1{)}^2(t=3)$ である。$a=3\mathrm{/}4$ では両者が等しく、$$4a^3=27(a-1{)}^2={\displaystyle \frac{27}{16}}$$ であるから、最大値は $${\displaystyle \frac{27}{16}}(t={\displaystyle \frac{3}{4}},3)$$ である。$3\mathrm{/}4<a\leqq 3$ では $4a^3\geqq 27(a-1{)}^2$ なので最大値は $4a^3(t=a)$ である。

以上をまとめると、最大値は$$\{\begin{array}{ll}27(a-1{)}^2& (a<{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{ または }a>3),\\ {\displaystyle \frac{27}{16}}& (a={\displaystyle \frac{3}{4}}),\\ 4a^3& ({\displaystyle \frac{3}{4}}<a\leqq 3)\end{array}$$である。最大値をとる時刻は、それぞれ $$t=3,t={\displaystyle \frac{3}{4}},3,t=a$$ である。

(3) $(2)$ の最大値を $M(a)$ とする。$a<3\mathrm{/}4$ では $M(a)=27(a-1{)}^2$ であり、この範囲では $a$ を $3\mathrm{/}4$ に近づけるほど小さくなる。したがってこの部分での最小は $a=3\mathrm{/}4$ で ${\displaystyle \frac{27}{16}}$ である。 $3\mathrm{/}4\leqq a\leqq 3$ では $M(a)=4a^3$ であり、これは $a$ について増加する。したがってこの部分でも最小は $a=3\mathrm{/}4$ で $$4{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3={\displaystyle \frac{27}{16}}$$ である。$a>3$ では $27(a-1{)}^2$ はさらに大きい。

よって最大値を最も小さくする $a$ は $a={\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。

距離を積分して $t(t-3a{)}^2$ とし、端点と停留点の値を比較する。(3)では最大値が少なくとも2つの候補値以上になることを使い、その下界が一致する $a$ を探す。

(1)
位置の差は$${\int }_0^t(v_1(u)-v_2(u))du=t(t-3a{)}^2\geqq 0$$だから$$f(t)=t(t-3a{)}^2\mathrm{.}$$(2)$$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3(t-a)(t-3a)\mathrm{.}$$$[0,3]$ で最大値の候補となる値は$$f(3)=27(a-1{)}^2$$と、$0\leqq a\leqq 3$ のときの$$f(a)=4a^3$$である。$f(3a)=0$ は最大候補でない。また$$4a^3-27(a-1{)}^2=(a-3{)}^2(4a-3)\mathrm{.}$$よって最大値と時刻は$$\{\begin{array}{ll}27(a-1{)}^2,t=3,& a<3\mathrm{/}4\text{ または }a>3,\\ 27\mathrm{/}16,t=3\mathrm{/}4,3,& a=3\mathrm{/}4,\\ 4a^3,t=a,& 3\mathrm{/}4<a\leqq 3.\end{array}$$(3)
$a\leqq 3\mathrm{/}4$ なら$$\max f(t)\geqq f(3)=27(a-1{)}^2\geqq {\displaystyle \frac{27}{16}}\mathrm{.}$$$3\mathrm{/}4\leqq a\leqq 3$ なら$$\max f(t)\geqq f(a)=4a^3\geqq {\displaystyle \frac{27}{16}}\mathrm{.}$$$a>3$ では $f(3)>108$ である。したがって最大値は常に $27\mathrm{/}16$ 以上で、$a=3\mathrm{/}4$ のとき実際に等号となる。求める値は$$a={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$