東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

まず条件(i)を調べる。 $f(1)=4-a+2b-8=2b-a-4$ だから $2b-a-4>0$ すなわち $a<2b-4$ である。

次に条件(ii)を調べる。 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-2ax+2b$ である。$f(x)$ が極値をもつには、2次方程式 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ が異なる2つの実数解をもてばよい。判別式より $$(-2a{)}^2-4\cdot 12\cdot 2b>0$$ すなわち $a^2>24b$ である。

次に条件(iii)を計算する。原始関数は$$\int f(x)dx=x^4-{\displaystyle \frac{a}{3}}{x}^3+b{x}^2-8x$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_1}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{a}{3}}+b-8=-{\displaystyle \frac{a}{3}}+b-7,}\\ {\displaystyle c_2}& {\displaystyle =16-{\displaystyle \frac{8a}{3}}+4b-16=-{\displaystyle \frac{8a}{3}}+4b,}\\ {\displaystyle c_3}& {\displaystyle =256-{\displaystyle \frac{64a}{3}}+16b-32=-{\displaystyle \frac{64a}{3}}+16b+224.}\end{array}$$$c_1,c_2,c_3$ が等比数列をなす条件は $c_2^2=c_1{c}_3$ である。代入して整理すると $${\displaystyle \frac{16}{3}}(a-21)(b-14)=0$$ となる。よって $$a=21\text{または}b=14$$ である。

【場合1：$a=21$】
条件(i)は $2b-25>0$ より、$b$ は正の整数なので $b\geqq 13$ である。条件(ii)は ${21}^2>24b$ すなわち $441>24b$ であるから $b\leqq 18$ である。したがって $b=13,14,15,16,17,18$ を得る。

【場合2：$b=14$】
条件(i)は $28-a-4>0$ より $a<24$ である。条件(ii)は $a^2>24\cdot 14=336$ であり、$a$ は正の整数なので $a\geqq 19$ である。したがって $a=19,20,21,22,23$ を得る。

以上を合わせる。ただし $(21,14)$ は両方の場合に含まれる。求める組は$$(21,13),(21,14),(21,15),(21,16),(21,17),(21,18),(19,14),(20,14),(22,14),(23,14)$$である。

分母を避けるため $d_n=3c_n$ と置く。三つの積分値を整数係数で書き、等比条件 $d_2^2=d_1{d}_3$ を展開すると、$a-21$ と $b-14$ の積へ因数分解できる。得られた二直線上で、$f(1)>0$ と導関数の判別式条件を整数範囲として交差させ、重複する一点を一度だけ数える。

条件 (i) は$$f(1)=2b-a-4>0.$$また$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-2ax+2b$$が異なる二実根をもつ条件は$$a^2>24b\mathrm{.}$$原始関数から $d_n=3c_n$ を計算すると$$d_1=-a+3b-21,$$$$d_2=-8a+12b,$$$$d_3=-64a+48b+672.$$三項が等比数列となるには $d_2^2=d_1{d}_3$ であり、整理すると$$48(a-21)(b-14)=0.$$$(a,b)=(21,14)$ では三項とも0なので、この条件はこの場合も十分である。

$a=21$ なら $2b-25>0$ と $441>24b$ より$$b=13,14,15,16,17,18.$$$b=14$ なら $24-a>0$ と $a^2>336$ より$$a=19,20,21,22,23.$$重複する $(21,14)$ を一度だけ書くと、求める組は$$\begin{array}{c}{\displaystyle (21,13),(21,14),(21,15),(21,16),(21,17),(21,18),}\\ {\displaystyle (19,14),(20,14),(22,14),(23,14)}\end{array}$$である。