東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ a& b\end{array}\right)$$とする。計算すると$$A^3-A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{4ab+4a-3}{8}}& {\displaystyle \frac{2a+4b^2+2b-3}{8}}\\ {\displaystyle \frac{a(2a+4b^2+2b-3)}{4}}& {\displaystyle \frac{4ab+a+4b^3-4b}{4}}\end{array}\right)$$である。したがって $A^3=A$ が成り立つためには $4ab+4a-3=0$ $2a+4b^2+2b-3=0$ $4ab+a+4b^3-4b=0$ が必要であり、これらが成り立てば十分でもある。

第1式から $4a(b+1)=3$ なので、$a\mathrm{\ne }0$ である。また第2式から $2a=3-4b^2-2b$ である。

第3式から第1式の一部を利用するため、$4ab+4a-3=0$ を $4ab=3-4a$ と書く。これを第3式に代入すると $(3-4a)+a+4b^3-4b=0$ すなわち $3-3a+4b^3-4b=0$ である。よって $$a=1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{b}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}b$$ を得る。

一方、第2式からは $$a={\displaystyle \frac{3-4b^2-2b}{2}}$$ である。これらを等しいとして整理すると $$2(1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{b}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}b)=3-4b^2-2b$$ である。両辺を3倍して整理すると $8b^3+12b^2-2b-3=0$ となる。この左辺は $(2b-1)(2b+1)(2b+3)$ と因数分解できる。したがって $$b={\displaystyle \frac{1}{2}},b=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。

第1式 $4a(b+1)=3$ から、それぞれ $$b={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ のとき }a={\displaystyle \frac{1}{2}},$$ $$b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ のとき }a={\displaystyle \frac{3}{2}},$$ $$b=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{ のとき }a=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ となる。よって求める組は$$(a,b)=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}),(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})$$である。

任意の2次行列について直接確かめられる $A^2-(\mathrm{tr}A)A+(\det A)E=O$ を用いる。$A^3=A$ と比較し、非対角成分が0でないことから係数を分岐して全候補を得る。

2次行列$$A=\left(\begin{array}{cc}1\mathrm{/}2& 1\mathrm{/}2\\ a& b\end{array}\right)$$について、直接乗算すれば$$A^2-tA+dE=O,t={\displaystyle \frac{1}{2}}+b,d={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$$が成り立つ。これに $A$ を掛けると$$A^3=(t^2-d)A-tdE\mathrm{.}$$したがって $A^3=A$ は$$(t^2-d-1)A-tdE=O$$と同値である。$A$ の右上成分は $1\mathrm{/}2\mathrm{\ne }0$ だから$$t^2-d-1=0,td=0.$$$t=0$ なら $b=-1\mathrm{/}2$、さらに $d=-1$ より $a=3\mathrm{/}2$ である。

$d=0$ なら $a=b$、かつ $t^2=1$ であるから$$b+{\displaystyle \frac{1}{2}}=\pm 1.$$よって $$(a,b)=(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2),(-3\mathrm{/}2,-3\mathrm{/}2)$$ を得る。以上より$$(a,b)=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}),(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})\mathrm{.}$$いずれも上の2条件を満たすため十分である。