東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) 箱Aには白球が2個しかないため、3個とも白球となることはない。仮説 $H$ が正しいのに棄却されるのは、黒球1個、白球2個を取り出す場合だけである。よって$${\displaystyle \frac{{}_8{C}_1{}_2{C}_2}{{}_{10}{C}_3}}={\displaystyle \frac{8}{120}}={\displaystyle \frac{1}{15}}\mathrm{.}$$(2) 箱は外見から区別できず、1箱を無作為に指定するので、$H$ が正しくないという条件の下では箱Bと箱Cの確率はそれぞれ $1\mathrm{/}2$ である。

箱Bから黒球を2個以上取り出す確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_B}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{}_4{C}_2{}_6{C}_1+{}_4{C}_3}{{}_{10}{C}_3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{36+4}{120}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$箱Cの場合は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_C}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{}_3{C}_2{}_7{C}_1+{}_3{C}_3}{{}_{10}{C}_3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{21+1}{120}}={\displaystyle \frac{11}{60}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって仮説が誤りなのに採択する確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_B+{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_C={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{11}{60}})={\displaystyle \frac{31}{120}}\mathrm{.}$$

採択と棄却が互いに余事象であることを使う。箱Aでは採択確率から第1種の誤りを、箱B・Cでは棄却確率から誤採択確率を求める。直接計算との照合にもなる。

(1) 箱Aから黒球を2個以上取り出す確率は$${\displaystyle \frac{{}_8{C}_2{}_2{C}_1+{}_8{C}_3}{{}_{10}{C}_3}}={\displaystyle \frac{56+56}{120}}={\displaystyle \frac{14}{15}}\mathrm{.}$$したがって誤って棄却する確率は$$1-{\displaystyle \frac{14}{15}}={\displaystyle \frac{1}{15}}\mathrm{.}$$(2) 箱Bで黒球が1個以下となる確率は$${\displaystyle \frac{{}_4{C}_0{}_6{C}_3+{}_4{C}_1{}_6{C}_2}{{}_{10}{C}_3}}={\displaystyle \frac{20+60}{120}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$箱Cで同じ事象が起こる確率は$${\displaystyle \frac{{}_3{C}_0{}_7{C}_3+{}_3{C}_1{}_7{C}_2}{{}_{10}{C}_3}}={\displaystyle \frac{35+63}{120}}={\displaystyle \frac{49}{60}}\mathrm{.}$$したがって、箱がAでない条件下で棄却される確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{49}{60}})={\displaystyle \frac{89}{120}}\mathrm{.}$$求める誤採択確率はその余事象だから$$1-{\displaystyle \frac{89}{120}}={\displaystyle \frac{31}{120}}\mathrm{.}$$