東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) $c=\cos \theta$、$s=\sin \theta$ とおく。点 $A_1$ は $A_1=(r_{1}c,r_{1}s)$ であり、楕円上にあるから $${\displaystyle \frac{r_1^2{c}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{r_1^2{s}^2}{b^2}}=1$$ である。したがって $$r_1^2={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{b^2{c}^2+a^2{s}^2}}$$ である。

また$$\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-s,\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=c$$だから $A_2=(-r_{2}s,r_{2}c)$ である。これも楕円上にあるので $${\displaystyle \frac{r_2^2{s}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{r_2^2{c}^2}{b^2}}=1$$ より $$r_2^2={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{b^2{s}^2+a^2{c}^2}}$$ である。 $O{A}_1$ と $O{A}_2$ は直交しているので、三角形 $O{A}_1{A}_2$ の面積は $S={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_1{r}_2$ である。よって $$S={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{2\sqrt{(b^2{c}^2+a^2{s}^2)(b^2{s}^2+a^2{c}^2)}}}$$ である。

分母の中を整理する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (b^2{c}^2+a^2{s}^2)(b^2{s}^2+a^2{c}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2{b}^2(c^4+s^4)+(a^4+b^4)s^2{c}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2{b}^2(1-2s^2{c}^2)+(a^4+b^4)s^2{c}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2{b}^2+(a^2-b^2{)}^2{s}^2{c}^2}\end{array}$$である。したがって $$S={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{2\sqrt{a^2{b}^2+(a^2-b^2{)}^2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }}}$$ である。

(2) $$0\leqq {\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。面積 $S$ は、分母が小さいほど大きく、分母が大きいほど小さい。

最大値は $${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =0$$ のときである。このとき $$S_{\max }={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{2ab}}={\displaystyle \frac{ab}{2}}$$ である。これは例えば $\theta =0,\pi$ で成り立つ。

最小値は $${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ のときである。このとき分母の平方根は $$\sqrt{a^2{b}^2+{\displaystyle \frac{(a^2-b^2{)}^2}{4}}}={\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}$$ である。よって $$S_{\min }={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}}$$ である。これは $\theta =\pi \mathrm{/}4,3\pi \mathrm{/}4$ で成り立つ。

なお、$a=b$ の場合は円であるから、最大値と最小値はともに $a^2\mathrm{/}2$ となり、すべての $\theta$ で同じ面積をとる。

楕円の2つの直交方向における半径を求めた後、積を $\cos 2\theta$ だけの式へ変形する。面積の分母は $(a^2+b^2{)}^2-(a^2-b^2{)}^2{\cos }^{2}2\theta$ の平方根となるので、$0\leqq {\cos }^{2}2\theta \leqq 1$ から極値を読む。

(1) $$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ とおく。楕円の式から$$r_1^2={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{b^2{c}^2+a^2{s}^2}},r_2^2={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{b^2{s}^2+a^2{c}^2}}\mathrm{.}$$2本の半径は直交するので $S=r_1{r}_2\mathrm{/}2$ である。

ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b^2{c}^2+a^2{s}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+b^2-(a^2-b^2)\cos 2\theta }{2}},}\\ {\displaystyle b^2{s}^2+a^2{c}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+b^2+(a^2-b^2)\cos 2\theta }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{\sqrt{(a^2+b^2{)}^2-(a^2-b^2{)}^2{\cos }^{2}2\theta }}}\mathrm{.}$$(2)$$0\leqq {\cos }^{2}2\theta \leqq 1$$ である。分母が最小になるのは ${\cos }^{2}2\theta =1$ のときで、$$\sqrt{(a^2+b^2{)}^2-(a^2-b^2{)}^2}=2ab\mathrm{.}$$よって$$S_{\max }={\displaystyle \frac{ab}{2}}$$であり、$a\mathrm{\ne }b$ なら $\theta =0,\pi \mathrm{/}2,\pi$ で得られる。

分母が最大になるのは $\cos 2\theta =0$ のときなので$$S_{\min }={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}},$$$\theta =\pi \mathrm{/}4,3\pi \mathrm{/}4$ で得られる。$a=b$ の場合は2つの値がともに $a^2\mathrm{/}2$ となり、すべての $\theta$ で面積は一定である。