東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
行列 $A$ は第1行が $(a,-b)$、第2行が $(b,a)$ の行列である。この1次変換による面積の倍率は、行列式の絶対値 $$\mathrm{\mid }a\cdot a-(-b)b\mathrm{\mid }=a^2+b^2$$ である。原点を1頂点とする任意の三角形の面積が保たれるためには、この倍率が1でなければならず、またこの条件で十分である。したがって $a^2+b^2=1$ である。

(2)
(1)の条件のもとでは $a^2+b^2=1$ なので、逆変換を表す行列は第1行が $(a,b)$、第2行が $(-b,a)$ の行列である。点 $(x,y)$ が $f$ によって $(2,-1)$ に移されるとすると、$(x,y)=(2a-b,-2b-a)$ である。したがって求める点の $x$ 座標は $2a-b$ である。

条件 $a^2+b^2=1$ のもとで、コーシーの不等式より $$2a-b\leqq \sqrt{2^2+(-1{)}^2}\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}$$ である。等号は $(a,b)$ が $(2,-1)$ と同じ向きの単位ベクトルであるとき、すなわち $$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}},b=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$$ のとき成り立つ。

(3)
(2)の値を代入すると、$f$ は $(x,y)\mapsto ({\displaystyle \frac{2x+y}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{-x+2y}{\sqrt{5}}})$ で表される。これは長さと角を保つ回転である。各頂点の移り先は $O\mapsto O,$ $E_1(1,0)\mapsto ({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}),$ $E_2(1,1)\mapsto ({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}),$ $E_3(0,1)\mapsto ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})$ である。したがって正方形 $O{E}_1{E}_2{E}_3$ は、原点を1頂点とし、辺の長さが1のまま、正弦が $-1\mathrm{/}\sqrt{5}$、余弦が $2\mathrm{/}\sqrt{5}$ となる角だけ時計回りに回転した合同な正方形に移る。図示では上の4点を順に結べばよい。

行列の第1列 $(a,b)$ と第2列 $(-b,a)$ は直交し、長さがともに $\sqrt{a^2+b^2}$ である。この二つを正方形の辺の移り先と見れば、面積保存条件を図形的に得られる。(2)は逆像の $x$ 座標を、単位円上の点 $(a,b)$ と固定ベクトル $(2,-1)$ の内積として最大化する。(3)は列ベクトルをそのまま2辺として図示する。

(1)
行列 $A$ の二つの列ベクトルを$$\mathit{u}=(a,b),\mathit{v}=(-b,a)$$とおく。このとき$$\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2},\mathit{u}\cdot \mathit{v}=0.$$したがって、単位正方形は一辺 $\sqrt{a^2+b^2}$ の正方形へ移り、面積倍率は $a^2+b^2$ である。三角形も同じ倍率で面積が変わるので、必要十分条件は$$a^2+b^2=1$$である。

(2)
条件 (1) のもとでは $A$ は長さを保つから、逆変換は内積を二つの列方向へ戻す変換になる。点 $(2,-1)$ の逆像の $x$ 座標は$$(2,-1)\cdot (a,b)=2a-b\mathrm{.}$$単位円上で$$2a-b\leqq \sqrt{2^2+(-1{)}^2}\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$等号は $(a,b)$ が $(2,-1)$ と同じ向きのときだから$$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}},b=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$(3)
このとき正方形の2辺 $(1,0),(0,1)$ は$$({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}),({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})$$へ移る。両者は長さ1で直交する。したがって像は、原点を1頂点とする合同な正方形で、他の頂点は$$({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}),({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}),({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})$$である。