東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
球面 $x^2+y^2+z^2-2z=0$ は $x^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ であるから、中心は $C=(0,0,1)$ で、半径は $1$ である。

直線 $x+y-k=z=0$ を含む平面を考える。この直線は平面 $x+y-k=0$ と平面 $z=0$ の交線であるから、この直線を含む平面は $z=0$ または、ある実数 $m$ を用いて $x+y-k+mz=0$ と書ける。

まず $z=0$ について、中心 $C(0,0,1)$ からの距離は $1$ である。したがってこれは接平面であり、接点は $(0,0,0)$ である。

次に平面 $x+y-k+mz=0$ が球面に接するとする。中心 $C(0,0,1)$ からこの平面までの距離は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }m-k\mathrm{\mid }}{\sqrt{2+m^2}}}$ である。これが半径 $1$ に等しいので $(m-k{)}^2=2+m^2$ である。展開して $m^2-2km+k^2=2+m^2$ となるから $2km=k^2-2$ である。$k>0$ より $$m={\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}$$ を得る。よってもう1つの接平面は $$x+y-k+{\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}z=0$$ である。

この平面の接点を求める。法線ベクトルは $$\vec{n}=(1,1,{\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}})$$ である。中心から平面へ下ろした垂線の足が接点である。ここで $$\vec{n}\cdot C-k={\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}-k=-{\displaystyle \frac{k^2+2}{2k}}$$ であり、また $$\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2=2+{\left({\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}\right)}^2={\displaystyle \frac{(k^2+2{)}^2}{4k^2}}$$ である。したがって接点は $$C-{\displaystyle \frac{\vec{n}\cdot C-k}{\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2}}\vec{n}=C+{\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}}\vec{n}$$ である。よって$$({\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}},{\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}},{\displaystyle \frac{2k^2}{k^2+2}})$$を得る。

以上より、求める2つの平面は $$z=0,x+y-k+{\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}z=0$$ であり、それぞれの接点は$$(0,0,0),({\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}},{\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}},{\displaystyle \frac{2k^2}{k^2+2}})$$である。

(2)
2つの平面の法線ベクトルは $${\vec{n}}_1=(0,0,1),{\vec{n}}_2=(1,1,m)$$ ただし $$m={\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}$$ である。$$\sqrt{2}\leqq k\leqq \sqrt{6}$$ では $m\geqq 0$ なので、2平面のなす角 $\theta$ は $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{m}{\sqrt{2+m^2}}}$$ を満たす。

また $$m={\displaystyle \frac{1}{2}}(k-{\displaystyle \frac{2}{k}})$$ であり、$k>0$ では $k$ が大きくなるほど $m$ も大きくなる。したがって $$0\leqq m\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$ である。

関数 $m\mathrm{/}\sqrt{2+m^2}$ は $m\geqq 0$ で増加するので$$0\leqq \cos \theta \leqq {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}}{\sqrt{2+{\displaystyle \frac{2}{3}}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ で考えているから $${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。

接点を $T=(u,v,w)$ とおき、球の半径方向を法線とする接平面を書く。その平面が直線 $x+y=k,z=0$ 全体を含む条件から $u=v$、$w=ku$ を得る。最後に $T$ が球面上にある条件を使うと2つの接点が直接求まる。

(1)
球の中心を $C=(0,0,1)$、接点を $T=(u,v,w)$ とする。半径$$\overrightarrow{CT}=(u,v,w-1)$$ が接平面の法線であるから、接平面は$$ux+vy+(w-1)(z-1)=1$$と書ける。

この平面が直線 $x+y=k,z=0$ 上のすべての点を含むには、$x$ の係数と
$y$ の係数が等しくなければならない。よって $u=v$ である。さらに
$x+y=k,z=0$ を代入すると$$uk-w+1=1,$$すなわち $w=ku$ を得る。

$T$ は球面上にあるので$$2u^2+(w-1{)}^2=1.$$$w=ku$ を代入すると$$u\{(k^2+2)u-2k\}=0.$$したがって$$(u,w)=(0,0)$$または$$(u,w)=({\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}},{\displaystyle \frac{2k^2}{k^2+2}})\mathrm{.}$$よって接点は$$(0,0,0),({\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}},{\displaystyle \frac{2k}{k^2+2}},{\displaystyle \frac{2k^2}{k^2+2}})\mathrm{.}$$前者の接平面は $z=0$、後者を接平面の式へ代入して整理すると$$x+y-k+{\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}z=0$$である。

(2)
2平面の法線を$$(0,0,1),(1,1,{\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}})$$ととる。$$\sqrt{2}\leqq k\leqq \sqrt{6}$$ では$$0\leqq {\displaystyle \frac{k^2-2}{2k}}\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\mathrm{.}$$したがって鋭角側の角 $\theta$ について$$0\leqq \cos \theta ={\displaystyle \frac{(k^2-2)\mathrm{/}(2k)}{\sqrt{2+\{(k^2-2)\mathrm{/}(2k){\}}^2}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$ゆえに$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$