東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

原点を通る直線を $y=mx$ とおく。これを曲線 $xy+\sqrt{5}(x-y)+4=0$ に代入すると $m{x}^2+\sqrt{5}(1-m)x+4=0$ となる。この直線が接線であるためには、この2次方程式が重解をもてばよい。したがって判別式は0であり $5(1-m{)}^2-16m=0$ である。整理すると $5m^2-26m+5=0$ だから $m=5,{\displaystyle \frac{1}{5}}$ である。

接点の $x$ 座標を求める。重解は $$x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}(1-m)}{2m}}$$ である。よって、$m=1\mathrm{/}5$ のとき $x=-2\sqrt{5}$ であり、$m=5$ のとき $$x={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$$ である。

曲線を $y$ について解くと $$y={\displaystyle \frac{-\sqrt{5}x-4}{x-\sqrt{5}}}$$ である。左側の接点から原点までは直線 $y=x\mathrm{/}5$ と曲線で囲まれ、原点から右側の接点までは直線 $y=5x$ と曲線で囲まれる。したがって求める面積 $S$ は$$S={\int }_{-2\sqrt{5}}^0\{{\displaystyle \frac{-\sqrt{5}x-4}{x-\sqrt{5}}}-{\displaystyle \frac{x}{5}}\}dx+{\int }_0^{2\sqrt{5}\mathrm{/}5}\{{\displaystyle \frac{-\sqrt{5}x-4}{x-\sqrt{5}}}-5x\}dx$$である。

ここで $${\displaystyle \frac{-\sqrt{5}x-4}{x-\sqrt{5}}}=-\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{9}{x-\sqrt{5}}}$$ である。これを用いて積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[-\sqrt{5}x-9\log \mathrm{\mid }x-\sqrt{5}\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{x^2}{10}}]}_{-2\sqrt{5}}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{[-\sqrt{5}x-9\log \mathrm{\mid }x-\sqrt{5}\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2]}_0^{2\sqrt{5}\mathrm{/}5}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9\log 5-12}\end{array}$$である。よって求める面積は $9\log 5-12$ である。

接点 $(x,y)$ での接線が原点を通る条件を、陰関数の微分係数$y\mathrm{/}x$ と一致させて表す。曲線の式と連立して2接点を直接求め、最後に曲線を $y$ の式へ直して面積を積分する。

曲線上の点 $(x,y)$ における微分係数は、陰関数を微分して$$y+(x-\sqrt{5})y^{\mathrm{\prime }}+\sqrt{5}=0$$より$$y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{y+\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}}}$$である。接線が原点を通るなら $y^{\mathrm{\prime }}=y\mathrm{/}x$ だから$$2xy+\sqrt{5}(x-y)=0.$$これと曲線の式$$xy+\sqrt{5}(x-y)+4=0$$を連立すると$$xy=4,\sqrt{5}(x-y)=-8.$$したがって接点は$$(-2\sqrt{5},-2\mathrm{/}\sqrt{5}),(2\mathrm{/}\sqrt{5},2\sqrt{5})$$であり、接線はそれぞれ$$y={\displaystyle \frac{x}{5}},y=5x$$である。

曲線を$$y=-\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{9}{x-\sqrt{5}}}$$と書く。求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2\sqrt{5}}^0(-\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{9}{x-\sqrt{5}}}-{\displaystyle \frac{x}{5}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^{2\mathrm{/}\sqrt{5}}(-\sqrt{5}-{\displaystyle \frac{9}{x-\sqrt{5}}}-5x)dx\mathrm{.}}\end{array}$$それぞれの原始関数へ端点を代入すると$$S=9\log 5-12.$$