東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) 放物線 $C$ 上の2点を$$P=(\sqrt{3}{u}^2,u),Q=(\sqrt{3}{v}^2,v)$$とおく。$P,Q$ は原点と直角を作るので $u\mathrm{\ne }0,v\mathrm{\ne }0$ である。直交条件より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}}& {\displaystyle =3u^2{v}^2+uv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =uv(3uv+1)=0,}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& uv=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$中点を $R=(X,Y)$ とすれば$$X={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(u^2+v^2),Y={\displaystyle \frac{u+v}{2}}\mathrm{.}$$(1)を用いると$$u^2+v^2=(u+v{)}^2-2uv=4Y^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$なので$$\begin{array}{cccc}& X=2\sqrt{3}{Y}^2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$逆に任意の実数 $Y$ に対し、$u,v$ を2次方程式$$T^2-2YT-{\displaystyle \frac{1}{3}}=0$$の2解とすればよい。この判別式は $4Y^2+4\mathrm{/}3>0$ だから、条件を満たす異なる実数 $u,v$ が必ず存在する。よって軌跡は$$x=2\sqrt{3}{y}^2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$で表される放物線全体である。

(2) $\mathrm{△}OPQ$ は $O$ を直角とするから、その面積を $S$ とすると$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}OP\cdot OQ\mathrm{.}$$ここで$$O{P}^2=u^2(3u^2+1),O{Q}^2=v^2(3v^2+1)$$である。(1)より $\mathrm{\mid }uv\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}3$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }uv\mathrm{\mid }}{2}}\sqrt{(3u^2+1)(3v^2+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}\sqrt{3(u-v{)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid }\mathrm{.}}\end{array}$$また$$(u-v{)}^2=(u+v{)}^2-4uv=(u+v{)}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}\geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$したがって $S\geqq 1\mathrm{/}3$ である。等号は $u+v=0$、例えば$$u={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},v=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$のときに成立する。一方、$\mathrm{\mid }u+v\mathrm{\mid }$ を大きくすれば $S$ はいくらでも大きくなる。ゆえに面積の範囲は$$S\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。

放物線と原点を通る直線の交点を、その直線の傾き $m$ で表す。直交するもう1本の傾きは $-1\mathrm{/}m$ なので、2点の座標が一度に決まる。中点は直接消去し、面積は相加相乗平均で最小値を求める。

(1) 傾き $m\mathrm{\ne }0$ の直線 $y=mx$ と $C$ の原点以外の交点を $P$ とする。$y^2=x\mathrm{/}\sqrt{3}$ に代入すると$$P=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}{m}^2}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}m}})\mathrm{.}$$$OP$ に垂直な直線の傾きは $-1\mathrm{/}m$ だから、もう1点は$$Q=({\displaystyle \frac{m^2}{\sqrt{3}}},-{\displaystyle \frac{m}{\sqrt{3}}})\mathrm{.}$$中点 $R=(X,Y)$ は$$X={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}(m^2+{\displaystyle \frac{1}{m^2}}),Y={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}({\displaystyle \frac{1}{m}}-m)\mathrm{.}$$よって$$2\sqrt{3}{Y}^2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}(m^2+{\displaystyle \frac{1}{m^2}})=X\mathrm{.}$$また $Y$ は $m$ が正の実数全体を動くとき実数全体を動くので、求める軌跡は$$x=2\sqrt{3}{y}^2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$である。

(2) 上の座標から$$OP={\displaystyle \frac{\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{3}{m}^2}},OQ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{3}}}$$である。したがって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}OP\cdot OQ={\displaystyle \frac{1}{6}}(\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }}})\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$等号は $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }=1$ のときに成立し、$\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }$ を0に近づければ $S$ はいくらでも大きくなる。ゆえに$$S\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。