東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

曲線が $x$ 軸に接する条件を調べる。$y=0$ を代入すると $(a+b)x^2-2Ax+2a^2=0$ である。$x$ 軸に接するためには、この二次方程式が重解をもてばよい。したがって判別式は0であり、$$(-2A{)}^2-4(a+b)\cdot 2a^2=0$$ である。よって $A^2=2a^2(a+b)$ となる。$A>0$、$a>0$ だから $$A=a\sqrt{2(a+b)}$$ である。

このとき重解は $$x={\displaystyle \frac{2A}{2(a+b)}}={\displaystyle \frac{A}{a+b}}=a\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{a+b}}}$$ である。よって $x$ 軸との接点は $(a\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{a+b}}},0)$ である。

同様に $x=0$ を代入すると $(a+b)y^2-2Ay+2a^2=0$ となり、同じ重解をもつ。したがって $y$ 軸との接点は $(0,a\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{a+b}}})$ である。

(2)

回転後の座標を $X,Y$ とし、$$x={\displaystyle \frac{X-Y}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}}$$ とおく。このとき $$x^2+y^2=X^2+Y^2,xy={\displaystyle \frac{X^2-Y^2}{2}},x+y=\sqrt{2}X$$ である。これを与えられた曲線の方程式に代入すると $$(a+b)(X^2+Y^2)+(a-b)(X^2-Y^2)-2\sqrt{2}AX+2a^2=0$$ である。整理して $$2a{X}^2+2b{Y}^2-2\sqrt{2}AX+2a^2=0$$ すなわち $$a{X}^2+b{Y}^2-\sqrt{2}AX+a^2=0$$ を得る。

(1) より $$A=a\sqrt{2(a+b)}$$ だから $$\sqrt{2}A=2a\sqrt{a+b}$$ である。したがって $$a{X}^2-2a\sqrt{a+b}X+b{Y}^2+a^2=0$$ であり、平方完成すると $$a(X-\sqrt{a+b}{)}^2+b{Y}^2=ab$$ となる。両辺を $ab$ で割って $${\displaystyle \frac{(X-\sqrt{a+b}{)}^2}{b}}+{\displaystyle \frac{Y^2}{a}}=1$$ である。$a>0$、$b>0$ なので、これは中心 $(\sqrt{a+b},0)$ をもつ楕円である。

先に45度回転座標 $X=(x+y)\mathrm{/}\sqrt{2},Y=(y-x)\mathrm{/}\sqrt{2}$ を導入して交差項を消す。元の座標軸は回転座標では $Y=\pm X$ なので、楕円候補とこの直線の交点が重解になる条件から $A$ と接点を同時に決める。

(1)

45度回転した座標を$$X={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}},Y={\displaystyle \frac{y-x}{\sqrt{2}}}$$とおく。逆変換は$$x={\displaystyle \frac{X-Y}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$元の方程式は$$a{X}^2+b{Y}^2-\sqrt{2}AX+a^2=0$$となる。

$x$ 軸は $Y=-X$ だから、接点では$$(a+b)X^2-\sqrt{2}AX+a^2=0$$が重解をもつ。よって判別式から$$2A^2-4a^2(a+b)=0.$$$A>0$ より$$A=a\sqrt{2(a+b)}\mathrm{.}$$重解は$$X={\displaystyle \frac{\sqrt{2}A}{2(a+b)}}={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a+b}}},Y=-X\mathrm{.}$$したがって元の座標では$$(x,y)=(a\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{a+b}}},0)\mathrm{.}$$$y$ 軸は $Y=X$ であり、同様に接点は$$(x,y)=(0,a\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{a+b}}})\mathrm{.}$$(2)

回転後の方程式へ求めた $A$ を代入すると$$a{X}^2+b{Y}^2-2a\sqrt{a+b}X+a^2=0.$$平方完成して$$a(X-\sqrt{a+b}{)}^2+b{Y}^2=ab,$$すなわち$${\displaystyle \frac{(X-\sqrt{a+b}{)}^2}{b}}+{\displaystyle \frac{Y^2}{a}}=1.$$$a,b>0$ なので、これは中心 $(\sqrt{a+b},0)$、半軸長 $\sqrt{b},\sqrt{a}$ の楕円である。