東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
極値をとる位置から$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=k(x-1)(x+3)$$と書ける。極大から極小へ減少する区間があるので $k>0$ である。積分して$$f(x)=k({\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2-3x)+C\mathrm{.}$$条件 $f(-3)-f(1)=32$ より$$k(9+{\displaystyle \frac{5}{3}})=32,$$したがって $k=3$ である。さらに $f(1)=0$ から $C=5$ を得る。よって$$f(x)=x^3+3x^2-9x+5.$$(2)$$A=(0,5),f^{\mathrm{\prime }}(0)=-9$$だから$$l:y=-9x+5.$$曲線と接線の差は$$f(x)-(-9x+5)=x^2(x+3)\mathrm{.}$$したがって再交点 $B$ の $x$ 座標は $-3$ であり、$A$ から $B$ まででは$$-3\leqq x\leqq 0.$$点 $(x,f(x))$ と直線 $9x+y-5=0$ との距離は、この区間で$$d(x)={\displaystyle \frac{x^2(x+3)}{\sqrt{82}}}\mathrm{.}$$$$\{x^2(x+3){\}}^{\mathrm{\prime }}=3x(x+2)$$より、端点と停留点で値を比較すると$$x^2(x+3)=\{\begin{array}{ll}0& (x=-3),\\ 4& (x=-2),\\ 0& (x=0)\mathrm{.}\end{array}$$よって最大距離は$${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{82}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{82}}{41}}\mathrm{.}$$

$f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$ から $f(x)=p(x-1{)}^2(x-q)$ と因数分解して係数を決める。(2) は $u=-x$ と置き、相加相乗平均で距離の分子を評価する。

(1)
$x=1$ で極小値0をとるので$$f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)=0.$$したがって$$f(x)=p(x-1{)}^2(x-q)$$と書ける。微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=p(x-1)\{3x-(2q+1)\}\mathrm{.}$$もう1つの停留点が $x=-3$ だから$${\displaystyle \frac{2q+1}{3}}=-3,$$よって $q=-5$ である。さらに$$32=f(-3)=p(-4{)}^2\cdot 2=32p$$より $p=1$ を得る。したがって$$f(x)=(x-1{)}^2(x+5)=x^3+3x^2-9x+5.$$(2)
接線は$$l:y=-9x+5$$であり、$$f(x)-l(x)=x^2(x+3)\mathrm{.}$$よって再交点は $x=-3$ である。区間 $-3\leqq x\leqq 0$ で $u=-x$ とおけば$$0\leqq u\leqq 3,x^2(x+3)=u^2(3-u)\mathrm{.}$$3つの非負数$${\displaystyle \frac{u}{2}},{\displaystyle \frac{u}{2}},3-u$$の和は3なので、相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{u^2(3-u)}{4}}\leqq 1.$$したがって$$u^2(3-u)\leqq 4.$$等号は$${\displaystyle \frac{u}{2}}=3-u=1,$$すなわち $u=2$ のときに成立する。直線 $l$ の方程式が $9x+y-5=0$ であることから、最大距離は$${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{9^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{82}}{41}}\mathrm{.}$$