東北大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $0\leqq j<n$ の場合を考える。$Y$ が $3^j$ で割り切れるが $3^{j+1}$ では割り切れないためには、$1$ から $3^n$ までの中で $3^j\text{ の倍数の個数 }-3^{j+1}\text{ の倍数の個数}$ を数えればよい。これは $$3^{n-j}-3^{n-j-1}=2\cdot 3^{n-j-1}$$ 個である。

このとき $XY$ が $3^n$ で割り切れるためには、$X$ が少なくとも $3^{n-j}$ で割り切れればよい。$1$ から $3^n$ までの中で $3^{n-j}$ の倍数は $3^j$ 個である。したがって$$P(A\cap B_j)={\displaystyle \frac{(2\cdot 3^{n-j-1})\cdot 3^j}{3^n\cdot 3^n}}={\displaystyle \frac{2}{3^{n+1}}}$$である。

次に $j=n$ の場合、$Y$ は $3^n$ で割り切れる。範囲内ではそのような $Y$ は $Y=3^n$ の1つだけである。このとき $X$ は何であっても $XY$ は $3^n$ で割り切れる。よって $$P(A\cap B_n)={\displaystyle \frac{3^n}{3^{2n}}}={\displaystyle \frac{1}{3^n}}$$ である。

したがって$$P(A\cap B_j)={\displaystyle \frac{2}{3^{n+1}}}(0\leqq j<n),P(A\cap B_n)={\displaystyle \frac{1}{3^n}}$$である。

(2)
事象 $B_0,B_1,\dots ,B_n$ は互いに重ならず、すべての場合を尽くしている。したがって $$P(A)=\sum _{j=0}^{n}P(A\cap B_j)$$ である。(1)より$$P(A)=n\cdot {\displaystyle \frac{2}{3^{n+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{3^n}}={\displaystyle \frac{2n}{3^{n+1}}}+{\displaystyle \frac{3}{3^{n+1}}}={\displaystyle \frac{2n+3}{3^{n+1}}}$$である。

(3)
条件つき確率は $$P_A(B_n)={\displaystyle \frac{P(A\cap B_n)}{P(A)}}$$ である。よって $$P_A(B_n)={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}{3}^n}{(2n+3)\mathrm{/}{3}^{n+1}}}={\displaystyle \frac{3}{2n+3}}$$ である。

これが $${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{3}{2n+3}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を満たす条件を求める。左側の不等式から $2n+3\leqq 9$ すなわち $n\leqq 3$ である。右側の不等式から $6<2n+3$ すなわち $n>{\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。$n$ は正の整数なので $n=2,3$ である。

$1$ から $3^n$ の整数を、含む3の因数の個数で階層に分ける。事象 $A$ は2枚の指数の和が $n$ 以上であること。各階層の個数を用いて、条件付きの場合と全体の場合を同じ表から数える。

$N_r$ を、$1$ から $3^n$ のうち「$3^r$ で割り切れるが
$3^{r+1}$ では割り切れない」整数の個数とする。すると$$N_r=2\cdot 3^{n-r-1}(0\leqq r<n),N_n=1.$$(1)
$B_j$ のもとで $Y$ が含む3の因数はちょうど $j$ 個である。
$XY$ が $3^n$ で割り切れるには、$X$ が $3^{n-j}$ の倍数であればよく、
その個数は $3^j$ である。よって $j<n$ では$$P(A\cap B_j)={\displaystyle \frac{N_j{3}^j}{3^{2n}}}={\displaystyle \frac{2}{3^{n+1}}}\mathrm{.}$$$j=n$ では $Y=3^n$ の1通りで、$X$ は任意だから$$P(A\cap B_n)={\displaystyle \frac{1}{3^n}}\mathrm{.}$$(2)
$B_0,\dots ,B_n$ は全体を分割するので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(A)}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{2}{3^{n+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{3^n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n+3}{3^{n+1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$P_A(B_n)={\displaystyle \frac{P(A\cap B_n)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{3}{2n+3}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{3}{2n+3}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$を解くと$${\displaystyle \frac{3}{2}}<n\leqq 3.$$$n$ は正の整数なので$$n=2,3.$$