東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

各回について、勝敗に関係しない目は $2,3,4$ の3個なので、その確率は ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。また、勝ちを決める目 $1$ が出る確率は ${\displaystyle \frac{1}{6}}$、負けを決める目 $5,6$ が出る確率は ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

勝つのは、最初の $j$ 回 $(j=0,1,2,3,4)$ はすべて $2,3,4$ のいずれかで、$j+1$ 回目に1が出る場合である。したがって勝つ確率は$$\sum _{j=0}^4{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^j{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1-(1\mathrm{/}2{)}^5}{1-1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{31}{96}}$$である。

同様に、負ける確率は$$\sum _{j=0}^4{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^j{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1-(1\mathrm{/}2{)}^5}{1-1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{31}{48}}$$である。

引き分けは、5回すべてで $1,5,6$ が出ない場合である。よって $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5={\displaystyle \frac{1}{32}}$$ である。実際 $${\displaystyle \frac{31}{96}}+{\displaystyle \frac{31}{48}}+{\displaystyle \frac{1}{32}}=1$$ となり、全場合を尽くしている。

5回以内に決着する確率を先に求める。決着したという条件のもとでは、最初の決着の目は $1,5,6$ の比 $1:1:1$ で現れるため、勝ちと負けを $1:2$ に分ける。

1回の試行で勝敗を決めない目 $2,3,4$ が出る確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$したがって5回とも決着しない確率、すなわち引き分けの確率は$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5={\displaystyle \frac{1}{32}}\mathrm{.}$$よって5回以内に $1,5,6$ のどれかが初めて出る確率は$$1-{\displaystyle \frac{1}{32}}={\displaystyle \frac{31}{32}}\mathrm{.}$$決着する目が出たという条件のもとでは、$1,5,6$ は同様に確からしい。したがって最初の決着の目が $1$ である確率は $1\mathrm{/}3$、$5$ または $6$ である確率は $2\mathrm{/}3$ である。

以上より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(\text{勝ち})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{31}{32}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{31}{96}},}\\ {\displaystyle P(\text{負け})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{31}{32}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{31}{48}},}\\ {\displaystyle P(\text{引き分け})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{32}}\mathrm{.}}\end{array}$$