東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

求める球の中心を $(p,q,h)$、半径を $R$ とする。$xy$ 平面、すなわち $z=0$ で切った円の中心は $(p,q,0)$ である。与えられた切り口が $(x+1{)}^2+y^2=2$ だから $p=-1,q=0$ である。よって球の中心は $(-1,0,h)$ とおける。

この球を $z=0$ で切ると、切り口の半径の2乗は $R^2-h^2$ である。切り口の円の半径の2乗は2なので $R^2-h^2=2$ すなわち $R^2=h^2+2$ である。

また、球は平面 $4x+2\sqrt{2}y-z=4$ に接する。これは $4x+2\sqrt{2}y-z-4=0$ である。中心 $(-1,0,h)$ からこの平面までの距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }4(-1)+2\sqrt{2}\cdot 0-h-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{4^2+(2\sqrt{2}{)}^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }h+8\mathrm{\mid }}{5}}$$である。接する条件はこの距離が半径 $R$ に等しいことだから $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }h+8\mathrm{\mid }}{5}}=\sqrt{h^2+2}$$ である。両辺を2乗して $(h+8{)}^2=25(h^2+2)$ すなわち $12h^2-8h-7=0$ を得る。よって $$h={\displaystyle \frac{7}{6}}\text{または}h=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。 $h={\displaystyle \frac{7}{6}}$ のとき $$R^2={\displaystyle \frac{49}{36}}+2={\displaystyle \frac{121}{36}}$$、$h=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき $R^2={\displaystyle \frac{1}{4}}+2={\displaystyle \frac{9}{4}}$ である。したがって求める球は $$(x+1{)}^2+y^2+{(z-{\displaystyle \frac{7}{6}})}^2={\displaystyle \frac{121}{36}}$$ および $$(x+1{)}^2+y^2+{(z+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}$$ である。

切り口から中心を $C=(-1,0,h)$、半径を $R=\sqrt{h^2+2}$ と置く。接平面の法線ベクトルは $(4,2\sqrt{2},-1)$ なので、接点は中心からこの方向へ伸ばした直線上にある。接点が平面上にある条件から、中心から平面までの符号付き距離を法線ベクトルの長さで表し、その絶対値を $R$ と等置する。

切り口の円の中心と半径から、球の中心と半径は$$C=(-1,0,h),R^2=h^2+2$$と書ける。平面$$4x+2\sqrt{2}y-z-4=0$$の法線ベクトルを$$\mathit{n}=(4,2\sqrt{2},-1)$$とすると $\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }=5$ である。

接点 $Q$ では半径 $CQ$ が平面に垂直だから$$Q=C+\lambda \mathit{n}$$と書ける。$Q$ を平面の式へ代入すると$$-8-h+25\lambda =0,\lambda ={\displaystyle \frac{h+8}{25}}\mathrm{.}$$一方$$CQ=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }h+8\mathrm{\mid }}{5}}\mathrm{.}$$これが半径 $R$ に等しいので$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }h+8\mathrm{\mid }}{5}}=\sqrt{h^2+2}\mathrm{.}$$2乗して整理すると$$12h^2-8h-7=0,$$したがって$$h={\displaystyle \frac{7}{6}}\text{または}h=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$それぞれ $R^2=121\mathrm{/}36,9\mathrm{/}4$ だから、求める球は$$(x+1{)}^2+y^2+{(z-{\displaystyle \frac{7}{6}})}^2={\displaystyle \frac{121}{36}},$$$$(x+1{)}^2+y^2+{(z+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}$$である。