東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $$x^2-2x+k=(x-1{)}^2+k-1.$$まず $k\geqq 1$ では二次式は $[-1,1]$ で非負だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }{x}^2-2x+k\mathrm{\mid }dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(x^2-2x+k)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+2k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}+k\mathrm{.}}\end{array}$$次に $0\leqq k<1$ とし、$$r=\sqrt{1-k}(0<r\leqq 1)$$とおく。二次式は $1-r<x\leqq 1$ で負になるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }{x}^2-2x+k\mathrm{\mid }dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+2k-2{\int }_{1-r}^1\{(x-1{)}^2-r^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+2k+{\displaystyle \frac{4r^3}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$$k=1-r^2$ を用いると、右辺と $4\mathrm{/}3+k$ との差は$${\displaystyle \frac{1-3r^2+4r^3}{3}}\mathrm{.}$$$$\varphi (r)=1-3r^2+4r^3$$とおけば$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(r)=6r(2r-1)\mathrm{.}$$$0\leqq r\leqq 1$ での最小値は $r=1\mathrm{/}2$ のとき$$\varphi \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}>0.$$よって所要の不等式が成り立つ。

(2)
$f(x)=x^2-2x+k$ とおくと、（＊）の定数項から$$k={\displaystyle \frac{7}{16}}{\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }{x}^2-2x+k\mathrm{\mid }dx\mathrm{.}$$$k\geqq 1$ では積分は $2\mathrm{/}3+2k$ だから$$k={\displaystyle \frac{7}{16}}({\displaystyle \frac{2}{3}}+2k),k={\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=x^2-2x+{\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{.}$$(3)
$0\leqq k<1$ の解があると仮定する。(1)から$$k\geqq {\displaystyle \frac{7}{16}}({\displaystyle \frac{4}{3}}+k)\mathrm{.}$$よって$$k\geqq {\displaystyle \frac{28}{27}}>1$$となり矛盾する。したがって解は存在しない。

(1) は $[-1,0]$ で二次式が必ず正であることだけを使う。絶対値積分全体はその半区間の積分以上なので、必要な下界が一度で出る。(2)(3) は定数項の条件へ代入する。

(1)
$-1\leqq x\leqq 0$、$k\geqq 0$ では$$x^2-2x+k\geqq 0.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }{x}^2-2x+k\mathrm{\mid }dx}& {\displaystyle \geqq {\int }_{-1}^0(x^2-2x+k)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2+kx]}_{-1}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}+k\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$f(x)=x^2-2x+k$ が（＊）を満たす条件は$$k={\displaystyle \frac{7}{16}}{\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }{x}^2-2x+k\mathrm{\mid }dx\mathrm{.}$$$k\geqq 1$ では二次式は $[-1,1]$ で負にならないので$${\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }{x}^2-2x+k\mathrm{\mid }dx={\displaystyle \frac{2}{3}}+2k\mathrm{.}$$よって$$k={\displaystyle \frac{7}{16}}({\displaystyle \frac{2}{3}}+2k),k={\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=x^2-2x+{\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{.}$$(3)
$0\leqq k<1$ の解があると仮定する。(1)から$$k\geqq {\displaystyle \frac{7}{16}}({\displaystyle \frac{4}{3}}+k)\mathrm{.}$$整理すると$$k\geqq {\displaystyle \frac{28}{27}}>1$$となり矛盾する。したがってこの範囲の解は存在しない。