東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

軸方向、軸に垂直な方向の座標を $$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{y-x}{\sqrt{2}}}$$ とおく。このとき $$x={\displaystyle \frac{u-v}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{u+v}{\sqrt{2}}}$$ であり、第1象限の条件は $\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\leqq u$ である。

固定した $u$ に対して、直線 $x+y=\sqrt{2}u$ 上の点が領域に入る条件を調べる。$s=x+y=\sqrt{2}u$ とおくと、曲線上では $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$$ である。両辺を2乗すると $$s+2\sqrt{xy}=1$$ となるので、曲線との交点があるためには $s\leqq 1$ である。

まず $0\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$、すなわち $$0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$$ のときは、線分 $x+y=s$、$x\geqq 0$、$y\geqq 0$ の全体が領域に含まれる。したがって回転断面は半径 $u$ の円板で、面積は $\pi u^2$ である。

次に ${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s\leqq 1$、すなわち $${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ のときを考える。曲線との交点は $$x+y=s,xy={\displaystyle \frac{(1-s{)}^2}{4}}$$ を満たすので、2つの交点の $x$ 座標の差は $$\sqrt{s^2-(1-s{)}^2}=\sqrt{2s-1}$$ である。よって軸から曲線までの内半径の2乗は $${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2s-1}}{\sqrt{2}}}\right)}^2=\sqrt{2}u-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。一方、外半径は第1象限の端点までの距離なので $u$ である。したがってこの範囲の断面積は $\pi \{u^2-(\sqrt{2}u-{\displaystyle \frac{1}{2}})\}$ である。

以上より体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}(2\sqrt{2})}{u}^{2}du+\pi {\int }_{1\mathrm{/}(2\sqrt{2})}^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}\{u^2-\sqrt{2}u+{\displaystyle \frac{1}{2}}\}du$$となる。第1項は $$\pi {\left[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}\right]}_0^{1\mathrm{/}(2\sqrt{2})}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{96}}$$ であり、第2項は$$\pi {[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{u}^2+{\displaystyle \frac{u}{2}}]}_{1\mathrm{/}(2\sqrt{2})}^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{96}}$$である。したがって $$V={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{48}}$$ である。

回転軸 $y=x$ に沿う座標を取り、軸に垂直な直線 $x+y=s$ で領域を切る。$0\leqq s\leqq 1\mathrm{/}2$ では円板、$1\mathrm{/}2\leqq s\leqq 1$ では円環になることを、曲線との交点の差から直接求める。

回転軸 $y=x$ に沿う座標を$$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$とする。直線 $x+y=s$ 上では $u=s\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。

$0\leqq s\leqq 1\mathrm{/}2$ のとき、第一象限内の線分 $x+y=s$ はすべて領域に含まれる。軸から端点までの距離は $s\mathrm{/}\sqrt{2}=u$ なので、回転断面は半径 $u$ の円板である。

$1\mathrm{/}2\leqq s\leqq 1$ のとき、曲線との交点では$$x+y=s,xy={\displaystyle \frac{(1-s{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$したがって2交点の $x$ 座標の差は$$\sqrt{s^2-(1-s{)}^2}=\sqrt{2s-1}\mathrm{.}$$軸から曲線までの距離の2乗は $(2s-1)\mathrm{/}2=s-1\mathrm{/}2$、外半径の2乗は $s^2\mathrm{/}2=u^2$ である。

また $ds=\sqrt{2}du$ だから、$s$ を用いて体積を書くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{2\sqrt{2}}}{\int }_0^{1\mathrm{/}2}{s}^{2}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{\pi }{2\sqrt{2}}}{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\{s^2-(2s-1)\}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{2\sqrt{2}}}({\displaystyle \frac{1}{24}}+{\displaystyle \frac{1}{24}})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{48}}\mathrm{.}}\end{array}$$