東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

2つの放物線の交点を求める。交点では $-3x^2=3x^2-18ax+12a^2$ であるから $6x^2-18ax+12a^2=0$ すなわち $(x-a)(x-2a)=0$ である。したがって交点の $x$ 座標は $x=a,x=2a$ である。

また、上下の差は $$C_1-C_2=-3x^2-(3x^2-18ax+12a^2)=-6(x-a)(x-2a)$$ である。$a<x<2a$ では $(x-a)(x-2a)<0$ だから、$C_1$ が $C_2$ の上にある。

(1) $0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときは $2a\leqq 1$ であり、囲まれる図形全体が $x\leqq 1$ に含まれる。よって$$S={\int }_a^{2a}-6(x-a)(x-2a)dx$$である。$x=a+t$ とおくと $0\leqq t\leqq a$ で $$-6(x-a)(x-2a)=-6t(t-a)=6t(a-t)$$ だから$$S={\int }_0^{a}6t(a-t)dt=6{[{\displaystyle \frac{a}{2}}{t}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^3]}_0^a=a^3$$である。

(2) ${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$ のときは $a<1<2a$ であるから、条件 $x\leqq 1$ によって右端は $x=1$ になる。したがって$$S={\int }_a^1-6(x-a)(x-2a)dx$$である。原始関数を求めると$$\int -6(x-a)(x-2a)dx=-2x^3+9a{x}^2-12a^{2}x$$なので $$S={[-2x^3+9a{x}^2-12a^{2}x]}_a^1$$ である。整理して $S=-2+9a-12a^2+5a^3$ となり、これは $S=(a-1{)}^2(5a-2)$ である。

(3) $0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ では $S=a^3$ なので、この範囲での最大値は $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき $S={\displaystyle \frac{1}{8}}$ である。 ${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$ では $S=(a-1{)}^2(5a-2)$ である。微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}=2(a-1)(5a-2)+5(a-1{)}^2$$ であり、$S^{\mathrm{\prime }}=3(a-1)(5a-3)$ となる。${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$ では、$a={\displaystyle \frac{3}{5}}$ を境に $S^{\mathrm{\prime }}$ は正から負に変わる。したがってこの範囲での最大は $a={\displaystyle \frac{3}{5}}$ であり、$$S={(-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2\cdot 1={\displaystyle \frac{4}{25}}$$ である。${\displaystyle \frac{4}{25}}>{\displaystyle \frac{1}{8}}$ なので、全体の最大値は ${\displaystyle \frac{4}{25}}$ であり、そのとき $a={\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。

2曲線の差を $x=a+t$ で表すと $6t(a-t)$ になる。全体の面積は直ちに $a^3$ と分かり、$2a>1$ の場合だけ $x>1$ の尾部を引く。

2曲線の交点の $x$ 座標は$$x=a,x=2a$$であり、その間での上下の差は$$C_1-C_2=-6(x-a)(x-2a)\mathrm{.}$$$x=a+t$ と置けば$$C_1-C_2=6t(a-t)\mathrm{.}$$(1)
$0<a\leqq 1\mathrm{/}2$ では $2a\leqq 1$ なので、囲まれた部分全体を取る。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{a}6t(a-t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^3\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$1\mathrm{/}2<a<1$ では、全体から $1<x<2a$ の部分を引く。$t=x-a$ と置いたまま計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =a^3-{\int }_{1-a}^{a}6t(a-t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^3-{[3a{t}^2-2t^3]}_{1-a}^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a-1{)}^2(5a-2)\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$0<a\leqq 1\mathrm{/}2$ では $S=a^3$ は増加し、端で$$S={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$$1\mathrm{/}2<a<1$ では$$S^{\mathrm{\prime }}=3(a-1)(5a-3)\mathrm{.}$$したがって $a=3\mathrm{/}5$ で増加から減少へ変わり、$$S={(-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2\cdot 1={\displaystyle \frac{4}{25}}\mathrm{.}$$$4\mathrm{/}25>1\mathrm{/}8$ より、最大値は$${\displaystyle \frac{4}{25}},a={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$